基礎知識：模糊圓的基本觀念

基礎知識：模糊圓的基本觀念
冼鏡光
February 5, 2012上線
October 10（雙十國慶）, 2025搬家到此

本文是原文加上一點拙著《DSLR：觀念、技巧、與原理》一書第M.16章內容的混合，但是書中討論的內容是多一點點。拙著中單元M很長（共122頁），為您提供了相當完整的有關鏡頭名方面的知識，若您對鏡頭有興趣，請不要錯過單元M、這是國內攝影書幾乎看不到的內容。

大多數國內的論壇只要出現景深、片幅、和模糊圓的論題時，肯定是人氣十足、硝煙四起，當然也是各路英雄好漢、真專家和（特別是）半調子專家們的露臉時刻。奇怪的是，國外的知名論壇很少發生這個現象，如果真有類似問題，通常的回應是指出若干可靠度很高的網頁或是名著中的頁數，一般是少數幾個回應就結束整個討論串。爲什麼有這樣的差異不得而知，但是問題簡單容易描述、讓人很有自由揮灑發揮想像力的空間，加上國內中文資訊不多，公說公有理婆說婆有理現象就產生了。另外，閱讀網路上的文章不比直接讀一本理路分明而且脈絡清晰的好書，扣除不少以訛傳訛的作品後，很多網路或論壇文章截頭去尾、語焉不詳，或是只給出式子，雖然這些「短」文頗適合喜歡「簡潔」的讀者，但是少了從基礎到結論的演繹，終究是斷章取義或隔靴搔癢，很容易就變成知其然而不知其所以然，從而引導出奇怪甚至錯誤的推論。

有了十九世紀中葉的基礎研究和實驗結果之後，模糊圓變成很粗淺沒多少深度的課題。國內論壇熙熙攘攘的原因，有很高的成份是對整個模糊圓體系不甚了解甚至有點誤解或曲解而產生，也有可能是看了些語焉不詳的精簡版文章而沒有融會貫通，因而被帶入歧途。更有可能是論壇的文章看多了，逐漸吸收了錯誤的說法而不自知，輪到自己發表意見時順口而出的就是自以爲是的錯誤知識。另外，模糊圓的式子有很多種，有些定在照片端、有些定在底片端，縱使是定在同一端的式子也可能型式不同、使用的參數也會有差異。這些式子可能系出同源但用不同面貌呈現，如果不能融會貫通，也許會把它們視爲不同的東西，用自己熟悉（甚至喜歡）的一套去批判不熟悉（或不喜歡）的另一套而強指爲誤，這就變成自己愛寫一、二、三但卻說寫成1、2、3是錯的一樣無稽。所以，個人一直鼓吹有系統地讀好書、培養堅實的基礎，在自己思考、上網查資料、或在論壇討論時才有明辨是非和去蕪存精的能力。

寫這篇文章的出發點，就是嚐試把有關模糊圓最基本的觀念做個整理，從人眼的辨識力出發，討論照片端和底片端的最大模糊圓，並且導出常見的「CoC = 底片對角線長/常數」的定義式。雖然文章相當長，也用到一些三角幾何，但內容實在很簡單，長的原因是期望從最基本的原理出發，並且用若干不同的觀點探討問題，個人認為學過一些三角幾何的朋友應該都能看得懂，需要更多預備知識的內容都不在本文中。

接下來的幾節中，我們先簡單地回顧一段歷史，再從人眼的辨識力開始討論。人眼的辨識力在理想的情況下大致上是1/60度（照明和對比不足時會降低），從這個觀念可以定出在某個觀看距離的最大容許模糊圓和最大容許模糊圓夾角。接著，我們討論觀看的視角（50度到60度之間）和觀看距離（25公分到30公分之間），從而找出某個觀賞距離下的舒適觀賞圓。在觀賞時習慣上會把照片佔滿整個舒適觀賞圓，於是不同片幅照片的觀賞距離就不同，大照片距離遠、小照片距離近，所以就可以爲不同片幅的照片算出在不同視角下的觀賞距離。

有了這些基本觀念（特別是舒適觀賞距離）就可以講解照片端的最大容許模糊圓，它有三種常見的計算方式：第一種是觀看時最大容許模糊圓夾角佔舒適觀賞視角的比例，第二種使用觀看照片距離下的最大容許模糊圓直徑，第三種是先定出印相時使用的解像力、再轉換成最大容許模糊圓直徑。因爲照片是從底片放大得來，所以把照片端最大容許模糊圓依比例縮小就得到底片端的最大容許模糊圓，從而得到通用的「CoC = 底片對角線長/常數」的式子。打好CoC基礎之後，我們再探討觀賞的照片大於或小於在觀賞距離下的舒適觀賞圓的特例和影響，並且也談到在顯示器上觀賞照片的情況。本文最後用一個總整理結束。

簡單的歷史回顧

模糊圓（正確的說法是最大容許模糊圓）起源很早，最先是出現在望遠鏡的研究中，然後Hermann Ludwig Ferdinand von Helmhotz（1821年8月31日 - 1894年9月8日）和其他科學家打下人眼辨識力、舒適觀賞角度和距離的基礎，這是心理學中perception的研究領域。二十世紀初期有不少使用寬爲35mm底片的機型，但都不是24×36片幅，最早的24×36片幅機型可能是在1914年推出的美國Simplex相機，真正影響後世的卻是從1923年起陸續推出的Leica系列。 Leica系列在剛推出時只配了50mm標準鏡頭，沒有連動測距機制、只能目測估計距離，後來Leica推出了外掛的連動測距機制。沒有準確對焦機制下知道景深就十分有用，因爲縱使是對焦距離不甚準確，只要被攝體在景深範圍內，在照片中還是清晰的。為了計算景深，當然就得定出最大容許模糊圓。
Leica最先是把底片端最大模糊圓直徑定成「CoC = 焦距/1000」，因爲當時只有標準鏡頭，所以CoC = 0.05，以當時的底片和印相解像力而言，這是個合理的值。用鏡頭焦距定義最大模糊圓有它的道理，因為觀賞的距離定成焦距的倍數就保證看照片時的透視和拍攝時的透視相同，不論照片是比舒適觀賞圓大或小都一樣。好比說，135底片24×36和8×10照片的對角線長分別是43.3mm和325mm，把135底片放成810照片的放大率是7.5倍，所以用50mm標準鏡頭拍攝的底片放成8×10照片時的觀賞距離是376mm = 50×7.5，在這個距離下觀賞的透視和拍攝時相同。鏡頭換成200mm、100mm、35mm、和28mm時，對應的觀賞距是1500mm、750mm、263mm、和210mm。
從這個例子不難看出：焦距愈長觀賞距離愈長、焦距愈短觀賞距離愈短。雖然這樣可以保持拍攝時的透視，但卻不很實際，因爲用長焦距拍攝的作品要離很遠、短焦距拍攝便作品要靠很近，這有違一般的觀賞方式（譬如在1.5公尺或20公分處看一張8×10的照片）。更重要的是，觀賞者可能完全不知道拍攝時使用的焦距，因而無法決定觀賞距離，通常就只能在一個舒適的距離下看照片。由於這兩個和其它理由，很快就放棄了「CoC = 焦距/1000」的計算方式而改成今天常用的「CoC = 片幅對角線長/常數」的算法，同時這個式子也變成國際標準。
CoC式子中的常數值也是基於當時（二次大戰之前）的底片和印相解像力定出來的，最先的值並不高，如果它是1000， 135底片的CoC值就是0.043mm = 43.3/1000。但是隨著底片、印相、和鏡頭解像力快速提昇，CoC = 1000就嫌太大，往後1500（135片幅CoC = 0.029 = 43.3/1500）、 1700（135片幅CoC = 0.025 = 43.3/1700）、甚至更大的值都有鏡頭廠商用過。
景深與模糊圓的關係
下圖是從拍攝影像到觀賞照片的示意圖，圖中\( E \)是觀賞位置，\( S \)是照片所在，\( S \)可以是印出來的照片、用投影機或幻燈機投射甚至在顯示器上的影像，\( D \)是照片的片幅，\( L \)是從觀賞位置到照片的距離。要注意的是：在\( E \)處必須要能夠完整地觀賞在\( S \)上的影像、而不是影像的一部分甚至一小部分；換言之，觀賞照片的意義是看整張照片的佈局、氣氛、和表現，而不是放大一小部分檢視。

\( E \)：觀賞位置，\( S \)：照片位置，\( D \)：照片的片幅，\( L \)：觀賞位置到照片距離，
\( R \)：照片端最大容許模糊圓直徑，\( I \)：拍攝的影像，\( d \)：影像的片幅， \( r \)：影像端最大容許模糊圓直徑，
\( u \)：物距，\( v \)：像距， \( u_{\mbox{far}} \)：景深後緣，\( u_{\mbox{near}} \)：景深前緣

因為人眼辨識能力有限，在距離\( L \)處可能無法分辨照片\( S \)上太小的細節；換言之，\( S \)上的圓小到某個程度之後，在\( L \)處觀賞會被看成一個點。在\( S \)上會被眼睛看成一個點的最大的圓叫做照片端最大容許模糊圓（Maximum Permissible Circle of Confusion），圖中這個圓的直徑用\( R \)表示。因爲在照片上直徑爲\( R \)的圓在距離\( L \)處觀看時會被當成一個點，於是眼睛就看不到照片中比R小的細節，自然影像I中是否有這些細節就無關緊要。
若拍攝的影像\( I \)的片幅爲\( d \)，因為照片\( S \)是從影像\( I \)放大\( \frac{D}{d} \) 倍得來，當然照片上直徑爲\( R \)的最大容許模糊圓就是從影像中直徑爲\( r = \frac{d}{(D/R)} \) 的圓放大 \( \frac{D}{d} \)倍得來。影像中直徑爲\( r = \frac{d}{(D/R)} \)的圓叫做影像端最大容許模糊圓，因爲影像中小於或等於\( r \)的細節經放大\( \frac{D}{d} \)倍後在距離\( L \)處觀賞時無法分辨。
上圖的拍攝端說明鏡頭在影像中產生直徑爲\( r \)的影像端最大容許模糊圓的過程。假設對焦點距鏡頭\( u \)（物距），於是影像\( I \)到鏡頭的距離就是像距\( v \)。考慮在對焦點左方一個距離鏡頭\( u_{\mbox{far}} \)的點，因爲\( u_{\mbox{far}} \)大於物距\( u \)，該點的像距會小於\( v \)，這表示像落在影像\( I \)的前方，於是影像中就會散開變成一個圓，假設這個圓的直徑就是影像端最大容許模糊圓直徑\( r \)。同理，對焦點右方物距爲\( u_{\mbox{near}} \)處也會有一個點，它的像在影像\( I \)的後方，但在\( I \)上也是一個直徑爲\( r \)的圓。在\( I \)上會產生直徑爲\( r \)的圓的位置只有兩個，一個在\( u \)左方(\( u_{\mbox{far}} \)）一個在\( u \)右方（\( u_{\mbox{near}} \)）， \( u_{\mbox{far}} \)和\( u_{\mbox{near}} \)之間的點的像都比直徑爲\( r \)的圓小。更精確的說法是：如果一個點從\( u_{\mbox{far}} \)起向鏡頭移動，它在\( I \)上的像的直徑從\( r \)起遞降，到達\( u \)時直徑為0（一個點），再往右移像的直徑逐漸變大，到達\( u_{\mbox{near}} \)時的直徑為\( r \)。
因爲在\( u_{\mbox{far}} \)和\( u_{\mbox{near}} \)之間的點的像都比直徑爲\( r \)的圓小，把\( I \)記錄下來的影像在\( S \)上顯示時，它們的像的直徑都比照片端最大容許模糊圓小，因此在距離\( L \)處觀賞時會看成一個點。換句話說，因爲眼睛把在\( u_{\mbox{far}} \)和\( u_{\mbox{near}} \)之間的點在\( S \)上的像都看成點，所以就會認爲\( u_{\mbox{far}} \)和\( u_{\mbox{near}} \)之間的點都是和在\( u \)的點一樣清晰。這段在\( u_{\mbox{far}} \)和\( u_{\mbox{near}} \)之間的範圍就是景深（depth of field）， \( u_{\mbox{far}} \)是景深後緣、 \( u_{\mbox{near}} \)是景深前緣。因此，景深是源於人眼辨識能力不足，而把一段範圍內景物記錄在影像上的像看成是清晰的，但在光學上真正有清晰影像的被攝體只有一個在\( u \)處的點。另外，景深是一段定義在被攝體所在的物空間的距離，而不是在影像\( I \)上、也不是在照片\( S \)上。
人眼的辨識力
人眼的辨識力有限，在某個距離下會把一個圓看成一個點。下圖中\( E \)是眼睛，虛線表示視線，在靠近眼睛並且和視線垂直的某處有一個直徑爲\( d \)的圓，把這個圓向前方遠處移動、直到看成一個點而不再是個圓爲止，令這段最短、會把直徑爲\( d \)的圓看成一個點的距離爲\( L \)。於是，眼睛會把在\( L \)處直徑小於或等於\( d \)的圓看成一個點，但在\( L \)處直徑大於\( d \)的圓在眼中還是一個圓。同樣的道理，直徑為\( d \)的圓放在比\( L \)近的距離時看起來是一個圓，放在比\( L \)遠的所在就變成一個點，距離\( L \)正是個分界線。直徑為\( d \)的圓叫做在觀看距離\( L \)時的最大容許模糊圓（Maximum Permissible Circle of Confusion）。事實上，只要直徑\( d_1 \)和觀看距離\( L_1 \)的比例與\( \frac{d}{L}\)相同（也就是\(\frac{d}{L} = \frac{d_1}{L_1} \)），眼睛就會把在\( L_1 \)處直徑小於或等於\( d_1 \)的圓看成是一個點；所以，距離愈遠（或愈近）的對應最大容許模糊圓愈大（或愈小）。

\( E \)：眼睛，虛線：視線，\( L \)：觀看距離，\( d \)：在\( L \)之下的最大容許模糊圓直徑

最大容許模糊圓也可以用和視線的夾角說明。上圖中\(\theta \) 是對應著直徑為\( d \)的最大容許模糊圓的夾角，於是\( \tan(\theta) = \frac{d}{L} \)，當然\( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{d}{L}\right) \)。在這種表示方式之下，一個物體落在和視線的夾角\( \theta \)之內時（圖中的\( A \)），眼睛會把它當成一個點看待，只有在大於夾角( \theta \)時眼睛才不會看成一個點（圖中的\( B \)）。於是眼睛的辨識力既可以用在某個觀看距離下的最大容許模糊圓直徑表示，也可以用和視線的夾角表示。接下來的討論中，我們用\( \theta \)表示最大容許模糊圓夾角。
夾角\( \theta \)的值是多少？在理想環境下這個夾角是1分、也就是1/60度。因為\( \frac{d}{L} = \tan(\theta) \)，如果觀看距離是\( L \)，最大容許模糊圓的直徑（上圖的\( d \)）就是\( L\cdot\tan(\theta) \)，代入\( \theta = 1/60 \)度得到

所以，若物體長大約是觀看距離的3400分之一，眼睛就會把它當成一個點看待。在一般場合下，由於場景的照明、物體的色澤和對比等等因素，人眼的辨識力會比較低、有時還會低很多。為了討論方便，不打算直接引用數值而寫成\( d = \frac{L}{\alpha} \)，此地\( \alpha = \frac{1}{\tan(\theta)} \)；要注意的是，\( \alpha \)的值愈小（或愈大）、在相同觀看距離下的最大容許模糊圓愈大（或愈小）。
觀看視角和觀看距離
人眼的視角左右方幾乎有180度、上下方也大過100度。雖然視角很大，但是左右上下只有約50度到60度是可以專注而且舒適觀賞的範圍，這個範圍之外的辨識力較低也難以專注，就是一般所謂的餘光。以下的討論會用\( \varphi \)表示視角而不用特定的數值，但\( \varphi \)的值會在50度和60度之間。用觀賞位置（眼睛）爲中心、視線爲軸、視角的一半構成一個圓錐（見下圖），叫做視角錐（cone of vision），視角錐內的物體都在人眼可以專注而且舒適觀賞的範圍內。我們看大型物體（譬如舞台表演或大型雕塑）時都會離得遠，看小物體時（譬如小模型或4×6照片）則習慣會走（或拿）近些，主要原因就是把觀賞的物體放在視角錐的範圍內。

\( E \)：眼睛，\( C \)：視角錐，虛線：視線，\( \varphi \)：視角，\( \varphi/2 \)：半視角
\( D_v \)：觀賞距離，\( r \)：舒適觀賞圓半徑

在觀賞較小的物體（譬如書本、照片、圖畫）時，我們習慣上有一段舒適的觀賞距離，通常在25公分到30公分之間，稍大（或稍小）的物體就把它放遠（或近）些，這是常說的在手臂長的觀賞距離。在舒適觀賞距離處和視角錐軸線垂直的平面與視角錐相交於一個圓，因爲這個圓在舒適觀賞的範圍內，通常把它稱爲舒適觀賞圓（circle of comfortable viewing）。如果觀賞距離是\( D_v \)、視角爲\( \varphi \)，對應的舒適觀賞圓半徑是\( D_v \cdot \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \) 、直徑為 \( 2D_v \cdot \tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \)。於是，視角為50度的舒適觀賞圓直徑是\( 0.93D_v = 2D_v \cdot\tan\left(\frac{50}{2}\right) \), 視角為60度的舒適觀賞圓直徑是\( 1.15D_v = 2D_v \cdot\tan\left(\frac{60}{2}\right) \)。
照片觀賞距離
最常見的照片格式不外4×6、5×7和8×10三種，它們的對角線長分別是18.32cm、21.85cm和32.53cm，若要把整張照片完整地放到舒適觀賞圓內、使觀賞視角爲60度時，照片的對角線長大致上應該是舒適觀賞圓的直徑，於是觀賞距離\( D_v \)分別是15.87cm、18.92cm和28.17cm（見下表）。

單位：公分（cm）

考慮到舒適觀賞距離（25到30公分）的因素時，用8×10照片做準就十分理想，因爲視角在50度到60度之間時，觀賞距離分別是34.88cm和28.17cm，兩者都和舒適觀賞距離相差不遠。正因為如此，8×10片幅是很多討論在照片端最大容許模糊圖的基準，但更早期的模糊圓討論是建立在目前已經不存在的6½×8½英寸片幅（見上表）。
照片端的最大容許模糊圓
照片端的最大容許模糊圓指的是眼睛無法分辨細節而會看成一個點的（最大的）圓，它的直徑和觀賞照片的距離\( D_v \)有關。在固定的觀賞距離下，最理想的狀態是照片能夠佔滿整個舒適觀賞圓，也就是照片的對角線長約略是舒適觀賞圓的直徑（下圖左）；若照片比在該觀賞距離下的舒適觀賞圓還大（下圖中），通常就得移動眼睛（或轉頭）或是後退才能看到照片的全貌；如果照片比在該距離下的舒適觀賞圓小很多（下圖右），觀賞時就可能看不到一些細節（而必須拿近些）。不論是那一種情況，因為觀賞距離相同，照片端的最大容許模糊圓直徑都相同，雖然照片大小不同。為了方便起見，本節的討論以第一種情況（照片的對角線等於舒適觀賞圓的直徑）為主。

計算照片端的最大容許模糊圓的方式很多，此地打算介紹三種技巧。第一種使用觀看時最大容許模糊圓夾角佔視角的比例，第二種用觀看距離的最大容許模糊圓直徑佔照片對角線長的比例，第三種透過在某特定觀賞距離下定出來的照片解像力、再轉換成照片端的最大容許模糊圓直徑。表面上三種方法似乎各有其特色，但結果大同小異，而且基本原理完全一樣。
使用最大容許模糊圓夾角
最簡單的推算照片端最大容許模糊圓方式是直接套用視角和最大容許模糊圓夾角\( \theta \)。如果視角是\( \varphi \)，最大容許模糊圓夾角佔視角的\( \frac{\theta}{\varphi} \)，因此最大容許模糊圓直徑大致上就是舒適觀賞圓直徑（也就是片幅對角線）的\( \frac{\theta}{\varphi} \)倍。譬如說，若視角爲60度（\( \varphi \) = 60），最大容許模糊圓夾角\( \theta \) = 1/60度佔整個視角的\( \frac{1}{3600}=\frac{1/60}{60} \)，因為8×10照片對角線長為325.3mm，照片端最大容許模糊圓直徑是0.09mm = 325.3/3600。
使用最大容許模糊圓直徑
第二種算法使用觀看距離\( L \)時最大容許模糊圓直徑爲\( d = \frac{L}{\alpha} \)的關係式。若觀賞視角爲\( \varphi \)，舒適觀賞圓的直徑是\( 2L\cdot\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \) ，因此觀賞距離爲\( L \)的最大容許模糊圓直徑和舒適觀賞圓直徑的比例如下：

如果視角爲60度（\( \varphi \) = 60）而且最大容許模糊圓夾角為\( \theta =\frac{1}{60} \)60度，上式的結果是0.000252，也就是照片端的最大容許模糊圓直徑是舒適觀賞圓直徑的1/3970。以8×10照片的對角線長325.3mm計算，在舒適觀賞距離下的最大容許模糊圓直徑爲0.08mm。
使用印相解像力
第三種算法是從既定的印相解像力換算成照片端的最大容許模糊圓直徑。照片的解像力通常用每毫米（mm）有多少對黑白相間的線條（line pair，也就是lp）表示。譬如說，如果印相時需要每毫米有5對黑白相間的線條，解像力就寫成5 lp/mm；反之，8 lp/mm的解像力表示印相時可以分辨1毫米中的8對黑白相間線條。所以，印相解像力\( k \)lp/mm表示1 mm中有\( k \)對黑白相間的線條，每一對的寬度是\( \frac{1}{k} \) mm，於是照片就無法呈現小於或等於\( \frac{1}{k} \) mm的細節。
期望的印相解像力\( k \)是在某個標準觀賞距離\( h \)下決定的。在解像力\( k \)之下，因為每一對黑白相間線條的寬度是\( \frac{1}{k} \) mm，所以距離\( h \)時的最大容許模糊圓直徑為\( \frac{1}{k} \) mm，因爲比\( \frac{1}{k} \) mm小的細節在照片不會出現、會被看成一個點，但比\( \frac{1}{k} \) mm大的細節就不會看成一個點。由於在觀看距離h時的最大容許模糊圓直徑是\( \frac{h}{\alpha} \)，所以\( \frac{1}{k} = \frac{h}{\alpha} \)，也就是\( \alpha = k \cdot h \)或 \( k = \frac{\alpha}{h} \)。
決定印相解像力時通常會用8×10照片的觀賞距離250mm做準（\( h \) = 250mm），所以\( k = \frac{\alpha}{h} = \frac{\alpha}{250} \)。如果最大模糊圓夾角是\( \theta = \frac{1}{60} \)度， \( k = \frac{\alpha}{h} = 13.8 \)，也就是印相解像力是14 lp/mm。在有需要把相片放得更大保留更多細節、或者是打算在較近距離觀賞時，解像力\( k \)可以定得更高（假設鏡頭、底片或感光晶片也有相同或更高的解析度）。反過來，如果已經知道在標準觀賞距離\( h \)下的印相解像力\( k \)，因為\( \alpha = k \cdot h \)，在一般觀賞距離\( L \)的最大容許模糊圓直徑就是 \( \frac{L}{k \cdot h} \) 。舉例而言，如果標準觀賞距離是\( h \) = 250mm（8×10照片的舒適觀賞距離），又希望在這個距離下有5 lp/mm的印相解像力，於是\( k \cdot h = 5\times;250 = 1250 \)，在250mm的最大容許模糊圓直徑是0.2mm（250/1250）；在一般觀賞距離\( L \)下的最大容許模糊圓直徑爲\( \frac{L}{1250} \)、夾角\( \theta \)約略是\( \frac{1}{22} \)度，因此觀賞距離是1000mm（一公尺）時的最大容許模糊圓直徑是0.8mm（\( \frac{1000}{1250} \)）。
底片端的最大容許模糊圓
了解如何定出在某個觀賞距離的照片端最大容許模糊圓之後，把它轉換成底片（或感光晶片，下同此）的最大容許模糊圓就很容易了。爲何要有這樣的轉換？答案很簡單，討論照片的最大容許模糊圓用到觀賞距離、甚至於在某個標準觀賞距離下的印相解像力，但這些都不是拍攝時預先知道的參數；換言之，在拍攝時攝影者未必能夠預先知道照片會用多少解像力、並且印成多大的照片、又會在多長的距離下觀賞。所以，照片端的最大容許模糊圓對在拍攝時決定景深的貢獻不大，把照片端的最大容許模糊圓轉換到底片端就只用到底片的片幅和一個（合用的）常數值，在使用上（譬如計算景深和泛焦距離表）會簡單而且方便得多，這就是國際標準採用底片端最大容許模糊圓的理由。
照片端的最大容許模糊圓是在印相時把底片端的一個圓放大得來，這就牽涉到從底片到照片的放大率。底片到照片的放大率是\( E = \frac{D}{d} \)，此地\( D \)是照片的片幅（對角線長）， \( d \)是底片的片幅（對角線長）。譬如說，8×10的片幅是325.3mm，135底片的片幅是43.3mm，把135底片放大成8&\times;10照片的放大率是\( E \) = 325.3/43.3 = 7.5倍，把APS-C片幅（28.3mm）DSLR拍得的影像印成8×10照片的放大率是\( E \) = 325.3/28.3 = 11.5倍。
如果照片端的最大容許模糊圓直徑是\( R \)，而照片又是經過放大\( E \)倍而來，於是底片端對應的最大容許模糊圓直徑就是\( \frac{R}{E} \)，底片端直徑爲\( \frac{R}{E} \)的圓就叫做底片端最大容許模糊圓，這個直徑習慣上會寫成CoC。在底片端比這個圓小的細節經過印相放大後也許存在，但因為比照片的最大容許模糊圓小，在該照片的舒適觀賞距離下就分不出來而變成一個點，而得走近（或拿近）觀賞才看得清楚。因爲\( E = \frac{D}{d} \)，所以底片的最大容許模糊圓直徑CoC是：

換言之，CoC值可以從照片的最大容許模糊圓直徑\( R \)、照片的片幅\( D \)、和底片的片幅\( d \)算出來。請注意，上式中\( \frac{R}{D} \)是照片的最大容許模糊圓直徑佔照片片蝠的比率，前面已經討論過了。
因為最大容許模糊圓夾角和視角的比例是\( \frac{\theta}{\varphi} \)，所以用最大容許模糊圓夾角計算時，底片端的CoC是：

如果視角爲60度（\( \varphi \) = 60）而且最大容許模糊圓夾角\( \theta \) = 1/60度，底片端的CoC值就是\( \frac{d}{3600} \)。
使用最大容許模糊圓直徑計算（第二種方法）時，因為照片的最大容許模糊圓直徑是照片片幅的\( \frac{1}{2\alpha\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)} \) 倍，所以底片的CoC是：

因為\( \alpha = \frac{1}{\tan(\theta)} \)，若視角爲60度（\( \varphi \) = 60）、最大容許模糊圓夾角\( \theta = \frac{1}{60} \)度，底片端的CoC值就是 \( \frac{d}{3970} \)。
使用印相解像力（第三種方法）時，觀賞距離\( L \)的最大容許模糊圓直徑為\( \frac{L}{k \cdot h} \) ，所以得到下面常見的式子：

如果在250mm觀賞距離設定的印相解像力為6 lp/mm，於是\( h \) = 250而且\( k \) = 6，若底片得放大10倍（\( E \) = 10）並且觀賞距離為1公尺（\( L \) = 1000），底片端的CoC = \( \frac{1000}{6\times 250\times 10} \) = 0.067mm。
前面提過，在距離\( h \)處的最大容許模糊圓直徑是\( \frac{1}{k} \)，所以在距離\( L \)處的最大容許模糊圓直徑是從\( \frac{1}{k} \)放大\( \frac{L}{h} \)倍而來，但在\( L \)處的最大容許模糊圓又是從底片的最大容許模糊圓在印相時放大\( E \)倍得來，因此底片端最大容許模糊圓放大\( E\times \left(\frac{h}{L} \right) \)倍就是在\( h \)處的最大容許模糊圓。令\( E_h = E\times \left(\frac{h}{L} \right) \)表示從底片最大容許模糊圓到在\( h \)處的最大容許模糊圓的放大率、再把它代入CoC的式子，我們得到CoC = \( \frac{1}{k\times E_h} \)。若在距離\( h \)處觀賞的照片片幅爲\( D_h \)、底片的片幅爲\( d \)，因爲\( E_h = \frac{D_h}{d} \)，於是得到最終結果：

這道式子沒有特別的地方。因爲\( \frac{(1/k)}{D_h} \)是在\( h \)處最大容許模糊圓直徑（\( \frac{1}{k} \)）佔片幅（\( D_h \)）的比率，把這個比率和底片片幅\( d \)相乘就是底片端的最大容許模糊圓直徑。看個例子，若在標準觀賞距離下的片幅是8×10，對角線長爲325.3mm，假設在該距離下印相解像力需要5 lp/mm，於是CoC = \( \frac{d}{5\times 325.3} = \frac{d}{1627} \)。
另外，因爲片幅\( D_h \)和視角\( \varphi \)的關係是 \( D_h = 2h\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right) \)而且\( \alpha = h \times k \)，把\( k \)和\( D_h \)代入上面的CoC式子就得到和第二個方法一樣的結果，所以這兩個看起來相當不同的計算方法其實殊途同歸、一體的兩面。
下表是用觀看時最大容許模糊圓夾角爲1/60 度、1/30度（1/60 度的一半）和1/20（1/60 度的三分之一）搭配視角爲50度和60度算出的135和APS-C片幅的CoC值。因爲理想的最大容許模糊圓夾角1/60度太小，實務上這個夾角會大很多，所以通常會用1/30度和1/20度之間的值。以135片幅為例，對應的CoC值在0.02mm（1/30度）到0.04mm（1/20度）之間，究竟哪個值合用通常取決於鏡頭和底片的解析度，解析度愈高CoC值就愈小，一般CoC的值在\( \frac{d}{1800} \)和\( \frac{d}{1500} \)之間，於是8×10照片在250mm到300mm觀賞距離下的印相解像力得在6 lp/mm和7 lp/mm左右。

135片幅和APS-C片幅CoC值和對應印相解析度

綜合起來，最簡潔的最大容許模糊圓是定義在底片端，它具有下面的型式：

這個常數值通常在1500和1800之間，低（高）解析度底片的常數值較小（大），常用的值是1500，但在1920年代計算景深表時卻常用1000，因爲當時的底片解析度很低，二次大戰後隨著底片解析度提高， 1500到1800就變成常用的值。目前各鏡頭廠的做法是基於自身對鏡頭解像力和底片或感光晶片解析度的需要，從而選定一個合用的CoC值，很少再直接套用上面的公式。
如果照片太大或太小？
前面的討論都假定照片大致佔滿舒適觀賞圓，由此定出照片端最大容許模糊圓，再倒推回底片端最大容許模糊圓。如果照片比舒適觀賞圓大很多或小很多，因爲偏離原來假設條件很遠，有無可能使算出來的底片端最大容許模糊圓有顯著的差異？本節打算探討這個問題。
照片比舒適觀賞圓大並不影響底片端最大容許模糊圓，因爲觀賞時只專注於照片在舒適觀賞圓的區域，這就相當於觀賞一張正好佔滿舒適觀賞圓的照片，當然照片端最大容許模糊圓和前述的相同，於是底片端最大容許模糊圓也不變。然而要注意的是，如果把照片移遠而佔滿整個舒適觀賞圖，照片端的最大容許模糊圓變大（因為距離變長），佔片幅對角線的比例增加，於是底片端的最大容許模糊圓也變大。所以直覺地說，把照片拿近看讓它大過該距離下的舒適觀賞圓太多時，CoC會變小，這相當於底片解析度得提高；若底片解析度不如底片端的最大容許模糊圓時（假使鏡頭解像力足夠高），照片近看就會發現失去細節。
如果照片比舒適觀賞圓小，視角\( \varphi \)就比視角錐的角度（50度到60度之間）小，於是在底片端最大容許模糊圓的式子\( \frac{d}{2\alpha\tan\left(\frac{\varphi}{2}\right)}\)中， \( \alpha \)的值不變但視角\( \varphi \)變小，因而分母變小使CoC變大。這個現象有很直覺的解釋，因為照片變小表示片幅對角線變短，於是照片端最大容許模糊圓佔片幅對角線的比例降低，自然也就降低了底片端最大容許模糊圓直徑佔底片對角線的比例，因此CoC就變大了。另一方面，如果照片端最大容許模糊圓佔片幅對角線的比例降低，這意味著印相的解像力不需要很高，因爲增加再多的細節也都看不到。
讓我們看個例子。片幅為5×7的照片對角線長是219mm，如果照片完全佔滿視角為60度的舒適觀賞圓，觀賞距離約略是190mm，比舒適觀賞距離250mm到300mm來得短（因為片幅比8×10小）。如果最大容許模糊圓夾角是1/60度、1/30度、和1/20度，在190mm觀賞距離下的照片端最大容許模糊圓直徑分別是0.055mm、 0.11mm、和0.17mm，對應的印相解像力（直徑的倒數）分別是18 lp/mm、9 lp/mm、和6 lp/mm。如果把5×7的照片放到300mm處（8×10照片的舒適觀賞距離）觀賞，最大容許模糊圓夾角1/60度、1/30度、和1/20度對應的照片端最大容許模糊圓直徑分別是0.087mm、 0.17mm、和0.26mm，對應的印相解像力（直徑的倒數）分別是12 lp/mm、6 lp/mm、和4 lp/mm，這要比在近處（190mm）佔滿整個舒適觀賞圓的解像力來得低。
在顯示器上觀賞
許多人有這樣的想法：基於底片發展出來的模糊圓和景深理論到了數位時代也應該隨數位化而更新。景深的式子中的物距、焦距、和光圈f值都是鏡頭的光學特性，和記錄影像的媒介無關，唯一可能被「數位化」的就只剩下底片端的最大容許模糊圓直徑、也就是CoC，所以我們探討究竟CoC有無數位化的必要。
假設用20吋1600×1200顯示器觀賞照片，它的對角線長是500mm，寬和高分別是400mm和300mm，所以解像力是每毫米4（1600/400或1200/300）個像素，寫成4 pixel/mm。因此，顯示器端最大容許模糊圓直徑最小不能比一個像素來得小，也就是得大於或等於0.25mm。
如果整個顯示區域正好佔滿舒適觀賞圓，對應著60度視角的舒適觀賞距離約略是433mm，最大容許模糊圓夾角1/60度、1/30度、和1/20度的照片端最大容許模糊圓直徑分別是0.126mm、 0.252mm、和0.378mm，解像力分別是8 lp/mm、4 lp/mm、和3 lp/mm。所以，20吋1600×1200顯示器上的解像力（4 pixel/mm）大致上和最大容許模糊圓夾角1/30度吻合，對應的底片端最大容許模糊圓直徑是d/1500左右，因此傳統的式子仍然合用、並沒有變得不合時宜。
當然，目前數位相機的解析度比1600×1200高，所以1600×1200不足以涵蓋整張照片、而得縮圖才能在顯示器上完全顯示。在不縮圖的前提下，就相當於上一節討論的照片大於舒適觀賞圓的情況，因此CoC的計算方式並不需要改變。
總而言之，傳統的CoC計算方式在數位上仍然適用，只是「CoC = 片幅對角線長／常數」中的常數部分得稍做調整，隨感光晶片和顯示器、甚至於期望的解析度增高而變大，但它的極限仍然不應該超越理想狀況下的人眼辨識力。
結論
前面用很長的篇幅透過不同的角度探討最大容許模糊圓的觀念。我們從人眼辨識能力出發，導出最大容許模糊圓和視線的夾角、以及在某個觀賞距離下的最大容許模糊圓直徑。接著，我們討論人眼的舒適觀賞視角（50度和60度之間）和舒適觀賞距離（250mm到300mm之間），從這兩者可以算出照片端最大容許模糊圓直徑，最後倒推回底片端最大容許模糊圓直徑、因而得到常見的「CoC = 底片對角線長/常數」，這正是國際標準的定義。此地推導出來的結果（見下面式子）涵蓋面是相當廣的，因為視角\( \varphi \)和最大模糊圓夾角\( \theta \) （\( \alpha = \frac{1}{\tan(\theta)} \）都是變數，唯一沒有列出來的假設是照片佔滿舒適觀賞圓，但這是很合理的假定。

http://www.cs.mtu.edu/~shene/FORUM/Taiwan-Forum/Concept/11-CoC/EQN-CoC-Diameter-3.jpg 二次世界大戰之前，底片和印相的解像力都不高，所以CoC式子中的常數比較小，常用的是1000左右。隨著底片和印相解像力提昇，而且攝影者和觀賞者對鏡頭解像力和照片銳利度期望愈來愈高（譬如縮短觀賞距離以便了解細節），於是常數值急速變大，1500到1700甚至大於1700都有可能。近來鏡頭廠商基於本身對鏡頭的設計理念和其它原因，已經逐漸從使用CoC公式而改成爲每個片幅直接給出他們認爲合理的值，以135片幅為例大致上在0.02到0.33之間。下面是Carl Zeiss為Contarex Planar 50mm f/2（1960年代到1970年代）計算的景深表，分別使用CoC = 0.03mm和CoC = 0.05mm：

本篇也討論到不滿足既定條件的觀賞方式對最大容許模糊圓的影響。如果照片比某觀賞距離下的舒適觀賞圓大，人眼就只能專注在舒適觀賞圓內的部分，所以照片端最大容許模糊圓的不變，當然底片端最大容許模糊圓也相同。如果照片比某觀賞距離下的舒適觀賞圓小，這相當於把照片拿遠觀賞、或是觀賞的視角變小，於是照片端最大容許模糊圓佔片幅的比例上昇，從而使底片端最大容許模糊圓變大。
本文也指出縱使是在顯示器上觀賞照片，用了近百年的底片端最大容許模糊圓「CoC = 片幅對角線/常數」定義仍然有效，並不需要因爲儲存和觀賞的媒介數位化後而跟著改變，畢竟最大容許模糊圓的由來是人眼的辨識能力、而不是儲存和觀賞的媒介。很多人認爲應該數位化或考慮到數位的主要理由之一，就是可能會貼近顯示器看照片，然而這卻背離了最大容許模糊圓的本意和用途。最大容許模糊圓的概念原本是用來發展景深和焦深（depth of focus）的理論，所以看出景深的基本前提應該和最大容許模糊圓的基本假設一致，也就是在舒適觀賞圓的範圍內觀賞照片，超出這個範圍太遠就使最大容許模糊圓和景深失去意義；換句話說，貼著顯示器用1:1甚至放大兩三倍看照片已經背離了在舒適觀賞距離把照片放在舒適觀賞圓中觀賞的基本條件，於是最大容許模糊圓和景深在如此的觀賞條件下變得完全沒有意義。
一些感想
本篇並不是原本計劃中基礎知識系列文章之一，因爲對於已經具備基本攝影光學知識的朋友而言，根本就不算是什麼了不起的學問，但在目前寫作的書中的確有介紹最大容許模糊圓的一章，主要就是爲了和景深一章連接起來。
不知什麼原因，國內論壇以訛傳訛、似是而非的怪論特別多，傳播這些怪論的人通常說話聲音特別大、而且攻擊力特別強，有識之士反駁一兩次之後就可能被怪論者圍攻，久而久之就不再理會和回應。這是一件很可悲的事，而且在國內論壇一再出現，久而久之錯的就變成對的或是非不分，或許這正是我們的社會被人譏爲理盲的理由之一。特別令人憂心的是，有如此行爲的人士絶大多數都有大學和大學以上的學歷，而大學教育目的就是爲學的精神、態度和技術，以及追求真理的目的，但和這些人士討論的經驗來看，卻感覺不出絲毫對知識和學問的真誠態度。個人離開家鄉太久，對國內大學教育和大學生求學態度已經有點隔閡和模糊，但和國外自己教過的學生比較後發現差異頗大，坦白說就是不少受過高等教育的人對知識缺乏尊重，而任由自我意識膨脹，在這個急速發展的時代真的相當令人擔心我們社會是否已經脫離正軌而且會影響到我們在世界的競爭力。
個人身爲學術和教育界一份子，當然以（正確的）知識傳承爲重，因爲知識是人類的寶貴遺產，如果否定經過科學界同儕証實的既成事實，那就不是創意而是無知。近幾年來，我們一直追求創意，但卻忽略了實現創意背後的深厚知識和學術背景，如此的創意很可能只是鏡花水月、無法流傳久遠的空談。所以，一些走偏鋒的知識或學術創意應該愈少愈好、愈多就愈糟糕、愈發不能提高我們的知識品質，因此寫知識性和教學文章（或討論）就不可不謹慎行事，以免把初入門的讀者引入歧途。
過去幾年中，基礎知識系列的文章一直嚐試破除一些國內以訛傳訛的觀念，譬如DC用轉換鏡頭倍率不足、近拍能力用最短對焦距離判定、EV的定義中含ISO敏感度、光圈f值定成焦距被前方透鏡直徑除的商、景深和片幅無關（在寫給新手系列）等等。本篇繼續這個努力的目標，澄清最大容許模糊圓是什麼、以及它的來龍去脈，因爲這也是論壇上的熱門而且很容易被攻擊的話題（如果您說的是正確的），希望這篇長文能夠解開您心中的迷團，不再被似是而非的怪論誤導或迷惑。

更新紀錄

February 5, 2012上線.

October 10（雙十國慶）, 2025搬家到此.