4.1 Higher Order Theory

Linear nth order IVP

(Subscript[a, n])[x](((d^n)y)/(dx^n))+…+(Subscript[a, 1])[x]y'[x]+(Subscript[a, 0])[x]y[x]==g[x]
 y[(Subscript[x, 0])]=(Subscript[y, 0]),y'[(Subscript[x, 0])]=(Subscript[y, 1]),… , (y^((n-1)))[(Subscript[x, 0])]=(Subscript[y, n-1])

Thm: 4.1.1
If all the (Subscript[a, i]) are continuous and (Subscript[a, n])≠0 on an interval I then there is exactly one solution of the IVP.

If the IC are not all at the same x value it is a Boundary Value Problem. No such thm is possible for BVPs.

Terminology

The IVP is homogeneous if g[x]=0.

If (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),…,(Subscript[y, n]) are solns of a homogeneous ODE then the superposition 
y=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])+ (Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])+…+(Subscript[c, n])(Subscript[y, n])
is also a soln of the ODE.

Functions (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),…,(Subscript[y, n]) are Linearly Dependent (LD) if there are constants (not all zero) satisfying.
0=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])+ (Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])+…+(Subscript[c, n])(Subscript[y, n]) 
Linearly Independent means not LD.

The Wronskian of functions (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),…,(Subscript[y, n]) is 
W=Det(({{(Subscript[y, 1]), (Subscript[y, 2]), …, (Subscript[y, n])}, {((Subscript[dy, 1])/dx), ((Subscript[dy, 2])/dx), …, ((Subscript[dy, n])/dx)}, {⋮, ⋮,  , ⋮}, {(((d^n)(Subscript[y, 1]))/((d^n)x)), (((d^n)(Subscript[y, 2]))/((d^n)x)), …, (((d^n)(Subscript[y, n]))/((d^n)x))}})) 
If W≠0 on an interval ℐ for solutions of a homogenous ODE then the solns are LI.

A Fundamental Set (FS) of solutions of an nth order linear ODE is a LI set of n solutions {(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),…,(Subscript[y, n])}

The general solution of an nth order linear homogeneous ODE is the superposition of an FS
y=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])+ (Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])+…+(Subscript[c, n])(Subscript[y, n])

Thm 4.1.6. If (Subscript[y, p]) is any solution of the non-nth order inhomogeneous ODE 
(Subscript[a, n])[x](((d^n)y)/(dx^n))+…+(Subscript[a, 1])[x]y'[x]+(Subscript[a, 0])[x]y[x]=g[x] 
the general solution is
y=(Subscript[y, p])+(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])+ (Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])+…+(Subscript[c, n])(Subscript[y, n]) 
where {(Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),…,(Subscript[y, n])} is a FS for
(Subscript[a, n])[x](((d^n)y)/(dx^n))+…+(Subscript[a, 1])[x]y'[x]+(Subscript[a, 0])[x]y[x]=0

Q7

y1[x_]:=x
y2[x_]:=(x^(-5))
y3[x_]:= (x^(-5))Log[x]
Det[(({{y1[x], y2[x], y3[x]}, {y1'[x], y2'[x], y3'[x]}, {y1''[x], y2''[x], y3''[x]}}))]

4.2 Reduction of Order

We can use a known solution of a homogeneous linear second order ODE to reduce a second order ODE to a 1st order ODE.

Substitute 
	y=(Subscript[y, 1])[x]u[x] 
into the standard form ODE 
  y''[x]+P[x]y'[x]+Q[x]y[x]=f[x].

So 
	({{y, ->, (Subscript[y, 1])u}, {y', ->, (Subscript[y, 1])'u+(Subscript[y, 1])u'}, {y'', ->, (Subscript[y, 1])''u+2(Subscript[y, 1])'u'+(Subscript[y, 1])u''}})

Plug in and organize
({{({{(Subscript[y, 1])''u    , +, P (Subscript[y, 1])'u, +, Q (Subscript[y, 1])u}, {2 (Subscript[y, 1])'u', +, P (Subscript[y, 1])u',  ,  }, {(Subscript[y, 1])u''        ,  ,  ,  ,  }}), =, f}})
If (Subscript[y, 1]) is a solution of 
(Subscript[y, 1])’’+P (Subscript[y, 1])’ +Q (Subscript[y, 1]) = 0
 the top row is zero.
({{(Subscript[y, 1])u''    , +, (2(Subscript[y, 1])'+P (Subscript[y, 1]))u', +, 0u, =, f}})
Which is a 1st order linear ODE for w=u'.
({{(Subscript[y, 1])w'    , +, (2(Subscript[y, 1])'+P (Subscript[y, 1]))w, =, f}})
On exams I will ALWAYS ask you for the reduced equation.