Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems

Author

Eric W. Weisstein
September 18, 2008

This notebook downloaded from http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Problems/Hundred-DollarHundred-DigitChallengeProblems.nb.

For more information, see Eric's MathWorld entry http://mathworld.wolfram.com/Hundred-DollarHundred-DigitChallengeProblems.html.

For a list of Eric's math packages that may be needed to evaluate this notebook, see Mathematica Information Center's MathSource item 4775.  A list of Eric's utility packages that may be needed to evaluate this notebook may be downloaded from MathSource item 5087.

©2008 Wolfram Research, Inc. except for portions noted otherwise

Additional Authors

Values, techniques, and various content from
Stan Wagon's Wolfram Technology Conference talk

Digits

From Stan Wagon

SIAMAnswer[1]=0.3233674316777787613993700879521704466510466257254696616810364434317903372106728944319303704641024513802805273312171512843329551003343518853814345933849959100496203187230243755305850326867826084814143621008284544722325433197423289562208383036051806138170228875927796223889414194808897786277656720091636325480930062612368830709515617259626227109122796181848626492520354425805878303512878922713506176972504363427324278062698195459935937934948703377003993887895844494193853252470105126349141166869280842967050545084228387406907420047518022017247554109230583360447095045817596946489788630167768426091736144508596750494011596931816971587028572107158052888912310396674019547711228705979109046809875599383142853899314897723348536769454368361557868526285246345537463616787033605541989910530337300290559520490910138131952127532519967705188100783651118877283568747500960917691186552933459664209305926699509607663216838251160999002569152976749531082493203607852959693352367456372093026716239528268235600132382543392517175243033628207090020663208386221017086074618844422542940269063720600142473465392422373540996557936053703204816654826851632409400237764054524939112312211532967241961400446733955161381660989050007862821876311318211942530645727596175471296029883971046067816036632360815440790017195969729830593783549197633852783311222104880117569307839989168003909313155386494964793024805191906334974617859251613226153802772402439723860020250179468046811370533307672083773701140683223716655837765839787814941108734777566088946895812434587606346336889988114166145654187452293313709518073522080662713034536258837892358991852190472801740736625931386968837373178961984920057347189671168651396364257237343562548155052115695298702512436745275498316511555300207733939714954451335673555708987344531999674894765062212811320094542666110985012229393847186275321237084141028837234799964570421275199816602281005095794647044709564390242812860131429702409071856164200293918931720916884726080128517761923287087096060098217622157826425906692707084431421307976225711047741218052068861460440465201969413131050060299094018875873765455814142468327001759280594376369287504756067067172431540990557019758208901715949468525851221960441945164996372706803777467050081831786067414116607772389651547921956427529970327968385167224629566960595755307797779937184017266201749895343678971664577617250310098613879942882995622379581951212259885056236673071572825233327641917681293628266521367067748165129789298866830240362399886405036369764051024947244817431340973960803571052214933075291076203019860710772927788038050649314598216294227391400579631996362420287782920403294743696680275937021685269333106039269498297516147461271887818097220121950189619526482917138598182427391177685003886253994958338650840658167521243826193219676392117170450407790757652910997320550155735975016039441792725597836171771355079131086241520377121221276602637366697030007160906515854732570214939788342898298446417628583980668382266285839236554357071532076411560254061548290139703002684934097607303994659619383653841129619590010284751926866953276597183196480139880804883307823875493040286198901036815356159825931200476887578233512192852928709728425252734381355129253789015314070678140574817254554980619044062345818069314537745764489574722510352838042808465761064318496516513983521756735040557897923337991712459759718135061160771025545688927228059316786033456697401388379328764862439313917740130164698613169971116645935768075735276992703606768748402745967906568037318391424397016691468451507383374608073387259753433662233437864864033364701561952872805025896871257997803520394035292763773702657350393094131792229555810932765938642449279060378223411549907952224258983522795432540777161439269773527233746242840659055219726873754794399237429379498522030722286251496529333605316783184268972892232256681401268826844058852626409551498440734968545776233072951921994505216908082088079626518397758740594886845410128819695038566794015416390340571242930317216393016003136103999594921276782934686595730562109924590656464190028919837296261079706120996738254243794526377086037524991682283839210365497321963001353095106013658137480326065847333519983895792244550542845631676195485805713180772798477400563846501126145445410196055692426790470512051121031168201548545150348816434158773912503761478436698375606554570907298299340293844540484001777602462071996632105003063547096102438633058862642505593929757726502006350179413576447908198968773539387433079432113499677692614158932801630929806060124131003288247113783142564355963244074414255306221346893192330251183296245458791794248462872114853032123377756241620094755596472362977736708288128621160566689483197137390996371806626595374903662601463331352976649989224780546870686259177102109557597449184969386873145279179599195212729887969726915608421980614718993067584522683995713678299788905196885861827155228492973173400037455723393140716549294803549528595583011019735592171091024604327051932971229949852773157334891633909505110838305220291047054838197902926223274102345251892970646031803222127687025426155446143907093061965803139324825156032006169225771030768187772062785622523430920621513158353377008260539605904931511604233361595457343954009221099803684773533716834093241849330693449320604958900497257595330953553432617850439686360658010782407206384331468215893990138063611570372059687780431644832947042525200654959879934676048831728084456472276853101093373019498961390756816188744667586727140867055649469842898693149482550214096942883390169050916005789546670323145633310102632507773387539834322806595746134502901529559461931710787837406158774922032426845042271843457229631983774290390491220871469792357015063094124280725523260360405221593259956457281649314665047165780997216743350779124571576680021363369573769393480157281562620296886549697446026028677395597684251737705059518213031660477611155724686253450018946798312456712116924179861693729614356939688041295017988377501265650982072554661970658062396590004231916703508974353096306830153621529975989403386367375067525402998300333873349123024860382230880166115960322315291985955125449612539810120628778019038174188369342358315209167787194320912327705913593591677594079034819584138107767815090530136981542078816527440214825176211214990417759358328506998044464892789929822701256317522753942733351797873612203891232282509245566733681976429862969075870472140433490516056436866908013424229129368137146908177801675951428097311419892479182712209024304740365233992057316280167657768858751862848763872629328127289164551773276262295571661258584323440478581957579590197589357810758046574445642346982040568783734326807555686770283851007410923055813316798791303960833617683620931602650240862991633230865672323589310371515958323875525121865043926200319298388343703533066571840087581165427037769613936835823826869702406170937466709400445071498731726201384265291902096257109930110965204756339402894181117975127047978324998355446860552879919039121043375283919284698345345710978660645158074950388922162642398963650341627465720512439240739945106965947486143231555568590709018502340522325110881254276152882376362017585052799672198741951014530007697570677596553365555867771517772154091111071298285716846999108934070290061316547097072375026900827846711100757909506527278724360242584665337359357075798938122292424629634577188166254210118499002652203663685143551809287230879363900319175866094417987909719833784105569430749811865787848365463149299911471296925419674051132422158805698438264140694664000405522153060297791866521711228625335785065754611872763056499419468085097785786163290646042202235195763695186553499542263887104159796093688340383240920198108616378390899452625350253568421405061951687014998019382268253954416912534327676322027252459609269249602272470061735728659139818974580749596452819289997427341408610703282628288201841348087164714547009912416988372574625750547472955127199757959770321649423028566440677166185565376901095628334966164666427302839853445642871173443598809269695514009015743795730764798272952530645050823947595386321728284848432119670650370288936590950744353074086135916748370440614394598918090117101989495127371255510826360359927868626426635924010347616309454934954437028187598785341653869552394088932189076788671630764687793946538112656895946167496338433950345870752916397735106055202094051093940094196273366325082577589546960769402540441078948825766920206526297841025586267926300271855990025101318897768219127254369494957494769878567009898178978856404875346851680066897396270069597260513368154120102717233553987601294252131775530304598583195669944297327639607393915962763700587079080434497838730600960403813065496588423156739957411493356522726919985319242264486224843425634025133393588204817965259685470163495824692564909484781454034872722202373420628639006341046341840426769923534634953300293932387836322797759259424499235790643965489223921393978623239095077250196494767729904140911865223957989623444892570861327922568752922825448361692325308140318667738775564122544125889646958395842186822232631792773064835394697072314331298894926452731142631805305554092230426530020748382033105465714355074245038863882780428033304512041582761234917060572424117297860227471716439452789192703712698874086934861912289686701278834723132958253321348787832541257983280169109157470528394807927268119376550748459506327121219360861241532004026852043058966919877039137303687869547724615029814166626511840456198806462863835204749074651210539558019816719322457339041726253525892375278645853528939145373747998671375721278995919574655842031155091482697831177457285131754733196847371280122156975400277750677155649426183284318919885127451360578153355461008612720441589905641757544299013091509509884652495516765284031856738180704980374066558399915297755392650201215568079480630689787651710303758167932648807828719355671628812329025869557658625636822393976893711720584436749472972819951203729888914409745810942369912550377840550659274996701585700572022457007385882138074602070132869179302864238281998708482651396587275172185704013203`10005;
SIAMAnswer[2]=0.9952629194433541608903118094267216210294669227341543498032088580729861796228306320991749818976188760306062973261905117220872365706973813827798622298601793010235848291712247521533893738542120285431498229185335785684074227094865917751175360454494126248540059377207153187435412618678932939065370898277321521957086460107640755534864936416847633880354053549030877049537666182655597845372132301107696172983755745990266890086631950960381276277304901538070152321287830247368879683759960540076469555647714594366427675841508779345618674365004564353564320841981837640307860213146250479715434914381145814139822346049514807863117802451128392368397761067470409823074045291628048357668206308542199842898509075596185774561194921097685645328452690998143784016325138984648631178397050199174167412232148536149610546541717872191638045310684055023361715176824988554011350882752638725114968174021384003628087877161697609551213966061439694662867244603714105798856782103472372787520292119130561712103294534414640292930589953264512710841527860684438574138908526536088004172748520201196305413372141142558414486352865559761417228275291024791402437474296127297084298117625569487836509521513689379543166434889402033014513161596561769184707722617975315670869242924231871593984105013987449845922686253939358602526841046725879586176281796970642254630685610450012309030204428813412269301958608329437686052048619372347629219534066089476970941470170176785934999403840925987533298875474953604915307595028497313152982878066864724326390395902853786630396589423895510707128320545565941264867662297007148085176683766032373048494132750268770401186763764961026090391800539840611065658393205461297915212401515769529381610453137476794673134921108636681434173489481075467499815895390504146640819776796672684219697984776962064690672527622456191561291341386099667417578522083481195163141126856706727847454471543986599348245860790709127151579827663797590379367499015502028798742578631317818823167221038294807405172050895977512560208951487820601395798609770824176521565153011837390397652862683897900382787299163667803275870827938968108628495326819072492178912640059424676973733713092892580867596780166846718886229634519257435905969586651406584634331237422799312780717755821065837940401929230647158943781643160948516024837784745679792133526657059505538815279355925541301783550703887429780114699259557944009622587102014873523658998862955748702905878597060726845981295404926978884323812941078739218153590832888930314380198562687809371449591608242752093595474276215427363937600199122932815818217126547278140136329122583107597004728037791767498951438378355205078000458630681385189449455304958573761492983499285669365132281546229436518440512559359897398031070337100093266722211953566110894614942630832478271066417257534370322524457062970836170099663996868673557856885862044648194137181792361109849112667097848051156020360537217921014387462735270609573937450365700421009584362510759750911724739483466987731115561193143027282617113704807363366684845803510889245744250318313906395051597233218909641853760436039415935447158019994351961337725528189370650236424802005020275114580950190334512374039376600210964805336314161180365060956767150897815132802594062290329159405009477993919126619549659263141580131589199595757409929624012984368295661335500403026549019032253274150218707017234245507940881875200103734984187399086983115135285892689707213151113178461324307420644813326342232997524993243828222633258793435488746918197965044577862835233285984323134817748553793773312946586780975995629531486617762678008128121076422950469898536818205604802830713180151281277149872773534841593249969720521096116248665580629413629415021984362888736452636550646495137064943396884188534434290697390995689089334756393708916202283949296240967424360356619019897699623264253681346228003431262671579219265055128131312637620592698901036197051857329248445935403921174514760828037365332277324173437710066997190096496412677720602511683880051567284665633539967959369700434661263343066006435912928813696726390413661304294663241302715540079687374750762681305498859731702661630861461937301719152960977724019590360297631090983193957200692452251859463991750379518732796682841210686112770173427812000618010295723421720482509600220959092231483796921690513066035719839643934783232115786554059470041758553503376659869175264649403949466371352666424838038660755648118825793642560201574669881289288436000624229484971732380831119703769028298546158113750852376167993238266242418884314243133751123353528923550126772303715696040514407315909223015836697623456578910285327781674818349182697558695511639509658453749880018968124894375300488601486671248675352579332793034876101327975432092406849514617962588639866667946129933425285988684415199184375852992148627414228520133779807359016618680884636384159868294858735166783505377091142961581334886949469643863375172501000768269612900830473416477395175658643479912327535774838792205484907756295108012645369386815862747018726462015421746466177459801929557907957182483570732422405611647879317977467882121028317248412667693262648778008406547456279428705821543203433968530244745857741816515547431638791162176635034139159501424671051604116572932930381034721864688749502744158347211440107342042554287336693069948531047872720216168337086988663846369366237347335080834740291235644851648390803830218538542514090748242303183846581599774907885007958012225768091904238434702397162403039214595955588347579981603309283211590920389058614153987827617423869728880280680441031833673641438951062018783442030889392118340818194643312479019468541029047712844332667131273113607148684160511902369422318226601718959367959066070319561899769361368403991666535329499792670503886973487565303918854800568896492265602024328859540607521101497739575578476285119709587470808145929906126926294964830051537563279551309067997745535914971636136230984806609936274262434948259243430958415077888938467618886468189789848842083858558099654767764210724146820824869256133909730099534187002887184600937097999071021318264095789154348764695127295772697224652165737464909078199694585290355107505993027463662659648706223474142475781050449357214143268054413900493359175397328219618214712801055200657178590582363627049238068309062353018086732794841640493547474687607625154634611646447620147188491899905642245922488345841428257475117831845486907203511978480019905124219462366202241180130301218802113505181988621397896292852361500403305161205441848158196535130763092161404427956312189594704680435138072541563279900256756003828994790657352917714986062925227976432446473967395224455127987467257256316976035308871613309572518647243930625583331754727703967509542190168325304967222063223351104326030317263107125485139929490334650651802160308339003542392372514384946418596192054031490815270341098100788457339829945530265931614767442286306701963519721964235811950686335528275849052003473803660511768478414417812567744745451155169324402363085778341140464243793337512960496939267414692204574371942889461622154959643593251136043877376260261182882326419487296524245011078188305812846787463590587004941627269142980647974355954580281398314050674791915430180529286599127646310544791634057990141634660110055699286088492211125667140237689337392024170230825074664212660220468303923728534310383391923073046769707327485795591912332395565664748595209787256794971338316347843769047835505803424727365868770527187700892450258117910159237113043141293539024126197535283231011873576273895814395734614816816811585451627888888924405841288745497154022881611194608364706523501510789979316301902682493213461061926888130396500254136658345752798354769800058443357330991616860630642542021930549082624344570151957149976551444295703787932703425627859328004098471559636570356761478938594380624877978717219454055909280747068015297754636371972840913549821742326049463208096628140221600912513977133337827102219885776169675195819735747529113655717804227522931708303527702455384552564699250905864495347534654136818051071276092138911446821713035636884267833416525021458684667279772075080390904429757930162863969965155669211597245300781444992870912459170582687583510565956482585446108708238463036097163532405139117483214079910312185730393593036936011835081251213220173980897116452159375994109944776144234136143146541622810663771183251525982017919718665935535020919496702075479406794407137858813244260508405358659087189330728323553800289650518413080353019520135010201460548930868302089222255442976088966300874096173155046694954532793542655463482333964837528782518119257621885907483627778614036775831299969695334482839488088720919187713673729988951240428883885126615394803902678577084369769621065373856109811884013042970272047305890343007538432469558635488902674201861485786101994384610940280143181380292181228848595609858506276761486123064785111633223795765781128106448858260028480023442531376613046797808410731538247565421601037603291509269707912936334634665095194047294745771457636842020982420793602522368185342459458284383836247044980596940373646466867510695283265933666411376592918189219060551777167436627307688900983931124441614778071760656948816072075050790846459081517203452249096970377966943812852230555238749201094791763897834820141320106947443558839105100282654684091975540977485170415142735863448754745088505574735325947736093303032686902401235744006193525237830953220111692040683258823000874528955767021263458664171628034105182540950602852306239110318304927722444963892499880411778261192154913216099847125232018372524794920913536852840404950262951317248990600288144578968290950756781834850099377699613851018194617447957077909623203876646994096729916123404129861994006531141696892311984364808324390317323139577562392978943159070505528015767209229703737907267950253679037518608320042512407632221682260302423651253460297988863151317065084503610244858243523154345067549710854556617402321202722261252822687889590927030755975473346921318953983008232040903553253955759706302499131321123666072957277134421329419200515424086353680254763962906470505260591039115306167282775677955`10005;
SIAMAnswer[3]=1.2742241528212281882123406397250780994724694566385039177038103174979396767267660606818952168758558777498011044337133214078133710703487320368968467718356086006229708295741562432582218960806612884625082048536671098890520787;
SIAMAnswer[4]=-3.306868647475237280076113770898515657166482361476288217501293085496309199837888295035825488075283499186192630891136430717132695479183570527535481485323493119666055496491770987805562739806177408729014170264272392227086207334639477551474403455597059000710130930484549790041257397877006760662403161597724611217893259536294053937533901074129148867476633116962279417362942396292658321079163381013168510632678554019900401524711714355688234420637521685431767309457909425768882351097148504853083520986326339983557947849154630104547099679467311070004309817910593652674429408839748633882190364165440517209476651683601753535141475760124791643629970356353417693895735350598635473642122822528688878749695509827898143628521390494115341245395385269727851257267362553188546604443742861873679538628389385868997963047779486318537165899052250504507672343475949688780439524509796737104261919981577990979508967297886317173392807994861717751825429547302477283761015961319823829914040695514974564405118425411424061122303323418884556485736566222520856320751823026608342705425800845036833507697596728209465338238941414613120085106299528299825023519889089340183007458722421466269942167133669278833414503272728278673578004837443326354484855480655640894080025173513910167291197997495813827496249602011929926721244617256089670865468288638366468135129976048162880156657338839310067728263645720825387545628107886103987829080271991536491825879534777950077295687507222809224634709779617146287178875313457265565432815449857143199587242798869150258121097516385474973713888845369120442844272495991804912134669926838666642763056576109700509051905797698228401205633911174384943442096347406784064377056565330087326887936783354542409733851368687361556421467677329544042429770058745783723398865563069699342148747475829117958703451439493849011443200087541823672355436615351343574935444917676205032784369989432791338543407653180158151048732883192695263168573732228955687661585961049921466863456092317295942782164383061646238257069421609157206640680006251860259540398735443026032887097504733869784431825891035733072537083346552577084124583107047954858646090518788902716032160343526949361642384690568217817642588768224854417505200744580027600004670177492452789577591886995445326811319000219204968040284634394696049539842767657738601130434948380228161099304091309898779662292465957564577346933755465084097952544060895349486066738143346710948649686799438935184967146695217785105811397333071451290421490813418544557432262591747084244333796041215019845577901805013345029299202869809306046300677554190467107608322813219580558452847803751132695194800113733261835864961790345743860072031248955156050549628408356538916377307824187704302376900805769040030509283826306211799842877615098290713417336081722146384840886122704650472780710500227937630110880496940228885956975725139288326910059461230965890415513429504223896188315528236682330127964223594936416276771317702365454852522507217445827566703803900233957075982606156889018241293725673290657006779816240429983296237477051419581852732883574606070014656952233292558823204513487911237631768524429073465848633044151446873752082141652646869883098516992905152653686792638433038116145307906060204052751040222349513920747252948549045328680734867226844492873853051585008056582565537004180228894983314366796568098022424569745074161453682192649113495276406073088325141921305135876103829585135229560691769626417129184467678842318162070276243352968990481335610293221121675500312071487542925442426144607811117710579272005264495114306930507900358946079734169291954878747615280281977493553288310266269566348983748925711827744748760605043337549868214747420168923830336425955466642227462111752433775624435275649829150786720877177362974370300380823578359656271721606556835135647452948228271721428033113393125893803547962361546093033973546778893282385393639411966775865516154981420514412592439595621841676749345058964802910298669227808729013195032254973048429356716409831764263009226564109513340894192264427962627575501824051084430310769300732167084585502676529362611808821868529193935278937592348298136697634366235699381672094877042967610356290771001868309482244300159711029072686618391367757422859069567147784564129666717806712443503645892245906008703188821100423762470009914440850701378886221703390794604617435788957050045387855887742659676810485656368675516773352621389361944989762975390365578315916792356791854398637601360892935580547460850189231616961716743150032183423616918671471087204872195505753831818489146600712141139173877443806809108911638922873028151744042218357435783488731028995610642342253560866644716861536810015082993052180613302261239498107457469270850137380819639329627951288538364226367350529928635693892828203174166761691819444367839574813270482886841433373356626667397968387599493396112585924294310984197435000327042373331791274417507897681017485994612664358460951190073419862369205839485907157770334327951900598312500560896932280889883633481947273029577589295654681837447192241922292142863049793492217041406412255373005082276968895139005652754492412698699349707743030857356545652781174493253516651843777559063386752507876944318877486019962796161065048756016348445741857980570883723453630752254710347577379925974629772354217727470272459416318115301629940341281152545075210345945838961808955311809560520957985796766714632539233283443639172448943991389769124636889571972379375793876882989085105046438605051233922110929318594993352413386709763692119173372347679846194114976024053022141443760481105528617032197494417084575914716921222331027687542093513298335686295221904431131141451838004504123845863051575733868229502985080748784299388589683289022362698975663510120870712884154609742103614360310104649123467031057624566493777594731873158234813682791400600397446951802037095531149055964033778519179553700410320845949762869689195550087852922747596610515880676219600181948739433049975701744017732022295942306674471684006708691977748948032110584579674178030239434125001240056891680598790793039959894668810561342797792173580293909419676602666051925580784598936686603631989977949134594921294053989812551657326510924113904958117316813179852649270916164228398984040762163266276873325253578741937115347395074050765941727614000040418523182709723036319917959971423572290733956465996652262015305761543004059630328385862021093167932786224448038254653278058281127395885157843220144333564183589722925204782770901453292152691755700042317949512867889971555336024902798972903180951267664156893293268830781264247363504609495745750956096525764623837933974612434421805288899429286874531996805711699161537333080739625042263157448957525403479163106856936981566147035588112713099321646811743811211579222372685812031348929428920688959940984781369018581875045521181749520334326372017554103161157020767714394540739672605400980532466840098833643513489706449469111725077026233381762376340616327409115676839621308206649827343695860634702607028352329696279687799512187106016536754822056884348212130446277807108658801042829761180978817564512179868992504134252230716976961100399086734688239162301195914347917849089670093058374480457015816664210762208316441437348107262210129003316529132101854454325655964529980544755871366758208079618302175524026695570074551733130719592288837103574562378122147706795779244009784287982899398315030035175035697781731182303990914194881195378074266518835484942741861861752001869536747805455167627543329652094948076989381538267919467473491324118063414743663305482283056422610458779412934034762039686108588749292272899835882112604236842376935788768820304743957641311802912415637503135021539428577835574287892291472337460941918354733930264834833303374070964366934757940624222395016405313094553260748307583568926376274674308793564187753353512231273927437665932159980036212605896591427234259133383169136731388424732409359392086368656664767868408060213594390549091432010206071287749218970888049621536895438887652147224521249750714805409788971672589666337934515051776091188438677499596883365837267918004232853709660538186703855533648228597385618582077315259539668364244284483880798334939210256871150834255516292378078695591348069885442192365584656230369486778368573872510712122002874270786982515395182374197698468290399643632982307447233917398278030377903878573613708295092533868796655115349206377568102962638771562348307084929579247160500621121037669239239348707380222169234557228437071358018233747512582167524365745643483058922678497138955107531209276315874013118784656734209683022877779727445117195627627000902760465762759713906810753766065176695813322787366692005542985812529648864659525299124996268540083373663623281603490070618131040543794628105655646406611707990146186413693864977733079339876574949590901986612940494761686732311367458191333553375553906282779461104243922251883795142647837525188954940597826486320094594827868897979987708475149116382354580058299145207004841208686114108835796167904855168310788114866352758244052566500563163122025556635118400206386070834367943698970308275622405346195809374931745549839812103295209407172418488515955246634642709941483275649353820278816318569359975393722800868539048888391711180058095830418562176566670858891122930107600722705918077688850356979599734109857867454715639501713098238319733141099436152567879492280582496383009285650887527994586707390388290347029583070449876038480835936405004232395129555289708549723403136951046521223066185841306349188473682745525775051986794851086684320165193913310298166103550180936362758406442817305408509161581894040088905694625573031506490254748347995977465386749421561704832956177532402640641812009420168988177129074188888985657027003281594290958580552541322001555662460599430801125493632354623565710730939730800597483309116405259436854119801167917089919776005266889490582254996560274577032530306816570654696103192161914564935533301526584421836453057756718823518165652923503527322641944452815376148655770410830365742027732678047887688091276606446790814663962387454496945630592430830524356511287044688847570734233104931628612812831764809859`10005;
SIAMAnswer[5] = 0.2143352345904596394615264001847493961134072877895167080739349859709876760740545981694798847888305330590350294231623952067805433732450602500728601414895360005339943101711874921230436965036105418271309169519058385709130947645023622962199441943313314562280753992430221631293939287559829513577691370472781532337919966335357336079333358686883468571946629093352338516730633796748079048231605210967363810435791405227386629392474358414115018569146907239031670476800493143322531811233685156570593367181879954183175612817809230908574471043777597237401309375297990015775579234133216503561594613034527898461282423640486377887842119136285590941367344075947924154996368937101852580470490399044376686770794219220803036726854335814838203708129292243232041864186145985053897407796435818747876369635865426081005353055869813406345329739482666928749921395303943045004067757226510450109801149692381772445502046796361815801829767370911338301313963029475373052148023090774076156250097939651926076953620385784429050237875703026288757766221947673067897273598439342189441391046985621038593954065447199345951214749884970963047537286616866504783888909151201714230855417608391465535254146859778003092835854889455977327996882090936684263190568074777106127725314957506552288324100234777152388485518556250989514926103637396280374775608835378156091361734343419690036658127374577306837892847444614092841651139069576366045203818741338020305738595693683923837464054680528701187884078860378240523018833743175193983380055300958933252793664161924157806192906658546910609404755721061808360497420156107534932932125366053541174221555721956452260675274553243798777459781790685446854300810117135991473293375903228571231373924453366078244616298828032392500307341316070427363021099302713566428494167571936842328670469579387545930817137448829397818557098582046662602239486959828787251592478258621484235980081382683370729491844484513439866619234863963524436071283180186408516396465611859481117151836407243835222479216864048509750445194162124732258908517424590959085883853272591570034597961222257795434779636945903007861259082634642324319571270114850601706289654888411993389719093547059802569665150587069591449199486372308449433133418655460909464576249999321481397421314780704925901717976311148906572708339969470972490981367527231464570960552328885514738254097691742214597898150075895787613666505879021352204503149807666931649679336828515097674324498353954360121882972581520875808829603912781773637097105504625473692531418296936575396066342333359653703491789654069825770269123390977111621505585732907135897663713350829134582179067010423854799669312257851844460873134382418543850662292191104368894245254527083158892607579192970906844217982618106237442364309272432713661647532169633641048868939487406656019261301892007925634715051510778213834938008601609870477241036615029826973734162493708066899197817046707146043210624592462727321076983806549491229133223636385434017623353980001634470551492897097056442690721857228892775293589030812212764133832045348257297036048246795972013943205563770666153254849176259593099149597181746583541554327156122382343923423695124813653471134912642979371047410702446501023849320172581011047211334686993087818787472199052112500005544870967598183853557760020327520601121486655682715709332524634437218831027600479411480699875793966074337699083233004244591110287906184867398390985226438482141420673144836255768995996761965131636579602551365620847017194855669415902062777473108822215573486139827410335694150278630481027309878387936513974941579906806188675793620321012705614387555663430788154622196258819050416760291064046472445244892116821272644243827397444176668745271416566569021531643742938883720527700807264338159089568731072845774665085635706580115707086033084262634344620404294371057086839038620440503414636751438732314708164618496921340412762838280132869218040945957827308342536202288053424964683266581169408105279167166752355002357549800639009730471910001335592648961789263334915483582891719227640584067108029364637650845627079141649672183544432331428995972433960946328150388170507770961771264707295174512925081043743740905585740417714631086268152663664797112316035298375830415971556471582998524576801395149559449724107141636520480389050769190097485641763668508465467988617466905337490208313540491069872372495215731807954578140742080162853467536271670875282909203092651227121714395572235781874028067775514348999294316179486971026121391342893100799464044359755104312677558267868942582355605468068344938358231134238377783049533120471809205318584241732467122602327450815168084990152865539118231054857115340746402412425886368146891095833567478232901357618413484183430198219769640600057706775820515941975766223377908395470777539503293938154355098898294012793911938061449485866805708286703951591358737127601120067782532058453161915828296497876683679471625432348372658069385019615869661699612734029649499036560255762048308848048747408559516820464673154697974020921497605211782117892052038433349329680352869430028615782537417717469610766454486342763994035912705539348590718156028716638153442738142540486610315075537903969006086106321230747369782164234938989849010309454277099731794700425150862084458435455139974527078965929647020936939080213632313565237123024709342123260909706746891050505961406894353169452343502729565858169150711798374213430205160805010583149633525023874516804083353881818397538836452077650974261658523579787695349895497093722531718521475345841902335346515282128145981078837386153580316400015877763145335580158723778045931853510954020766486232119481302302380938777302963836551532192462890750706115486999966640169281701512792110281582596914456686649871344367437109370803821131778548169071745351799198110291944071605198176424150365340732890441033140902465916611963920195019844212767832006949963986262790937663202259816759121162318671111462856175831525494904608389030130580183819696957541110342290659125282738569827161576639735282927356966755637465245565647700063271468612128198384559487257552678515991918420845154032184553589334600167128377453844626962000438772862912681731439107832237166170651140279001418954543999401967394520117909337680364491780188403434646388580872977031385094287638144481448292912489983959563090767486014327005687076088119334212211505483892186542477415646232242404544979828925126933268665187244276424349541174756388128651901094633595679437836497723229685422695317719053688959801595817020879105016523827458781250060879105150609204839617291605576071582399340313442874928526358668549890913640650691286772361033685523417862689884397317130137509220646347352548345322363473353322790756978739088783677106563193141365891986922672548257981193130139910105924179624746259509448833031430031159085663869333875959579853519235404526711116836882723493247631498283240187469276223464124571000475207607520338569439110147050373800737841727869026666671003625004891854990796415611104412851806277464354374053594124606023963659641097120075676537366286920865707377133801705377949339759519130893612459128285241696629313252922228275630608851712388183098616458829963289113368021316989824257185416221394280665601258092635809200015023408173289666721082370306910906265779012708229484225818231020821258418976048908252398739296038569226024067363091635513000151712291716474818998516710414395180991340782404870130176629775081804300997819062172822141079233524068591797973352384841774358728277629934995973877774280255492728021371709272184546321028828741447675710914071188118554452839697537104898459973159625358955499249186499652234792598173360655767621642669916517375575566441549123651901703123037965503150515660513363641769665976269948521714346888119111507771647579395095524401724584958916037585502889277908795376572966638882265444931405183198042600850677520155897266224883264256554340162455685769858897216941937217591001996748069135282881597137098665490265614275237257384769456356891704975074636145906975617747711888782506209255599412110717222561131740099241853444128477722972977640136079411460694201928972086839779560991339110496632767317230227254000269494796871031412180225539363675544564817118477860928096738352875108523520238152770548147360037612209260716672788167843060912952699105644151873891586261803922776301907044973909692921898146184836463401795164246324755991349773291841011746311030183241330947521638409739253228239195441822914462987934854441110265390638299481578743125307570995714825007444508081143355839051583514922612290616695682381798207579744531995636495149581285744326187792597522503361171586340527615198390320797905330302394355132242387986871882439144500291508071215422218692714136524092658639138918413395455195639827108359252964915002511772223188668073172945143632038534391815342362043431546595594151854082606311952518747007463447446681861213518049771147099298293485402385689109899300185997530311561642738563661679937807059765690287384229481689108586928389211152650768376461054621815800069389588508272401266854641893217909993882609192717974391534749958021487439621019048904255790736959727062393986641834297189677698220163953378479668496180445919457977364718310245433157543962760644752692954557335910871370744942104141426959970812220414434378639951294095208664412131544105584900466639439287448708351907221837251166566468404073651483476500927150821035928324121600438440030749846774455598244163542687857052482826384967754257963937945601235876015331720653910727160320807106963669617541349315990927691925165280416529617660560713645754871834620367271641377495982776477128928635899025318176831999964195970818910002034381684462000868302606925933630601808611881000958770594530894531699470188245472309163650690524624855886720171816505654203831336225668292024990042571888062074613881183008935924325517740931732332411422269614006272671388526069437360175512248456522458702545251788343721342999515569302986598605067363380520103703565472672037827224579707204789625610250328390701329268688168812340235336560964717216303498734818039940336326164547409727425469285565587283079898615508709581139766802390106823329408132745917161188050995906`10003.978166838708;
SIAMAnswer[6]=0.0619139544739909428481752164732121769996387749983620760614672588599310102975961584590710564575208786137167776216460354770352165761978623892076769265210054246222936461060219831086664501115514448011690543835708233305223558524709349617867588657932026192532298184275539832306595383966990297003792014502933395286379155134284131738195515470816040798760479449662526739040704857090917636453642527587617501936819066435426651304107692758964293794573588987003137369289949498093781290954998965767240826004285394185680689455770993799714914864077048261926330882588909861433634395645327769162520518043923682729722982085154521018424358323914781901695412732219391551677798447243492141835589958397651839202499799726537385901439899762234368301339169721991138864249021198624660744152311484447058718263380185231932636864014192129133616003655815874618760449095692927798091458615704902735926781777106775075104023322762716140151809132196334743230588554331979817269568734686833723613739420976385650392761584057273840831747257205271413457827176292482647112158072446219132784067668482334639630161810362325659468198865877545554150669015751596328287264500225151258938502096784535931012523997650078676251581376595207805835892841602333039839162328722194690164187679459799215527546173266738995089492991680942982613569867998455209872967552843188996501415404845687367753470092938701282059568380707285543772448350073078804292269521887424458873654814693804909010996735045340981169598908088321378113998622970897484897877286301189757300340894413021652079568442218676182323982245131041282580060047110304938045733997895178375254144591331465207118525142464713309449232070690388404663509568724089076089480313810145313641555005981628718111547371621635219536432156605793325219879349833969277690989141977261454804773398779649315256496210795055607489250133824007922250318446725291601317515014598923158376863947028709398576714031541608369746995557917594229775412686402895799478146031819230806428022527197242056140935645114695510191701467801083583646508912162053343480222669176461810125205912719721319467603657024532457564469245243820148383922105426035553584616786962283384076286958870613473718128280319379799917992243803689134559731032931742346334613128503782521848232551002342226205024031288117435874946459292301422639277458319300867574054995989091518349284146575195931217096542043873340161192158082981413455225891813235096876502747983560579024628203768222821130909527477815436115366181970351178197781252989316641909683496166857136289416611980514436833925471704768673863477937677833871566090330157623043873783761922083703755394578485606528024407093353349321705194321463526365322669959836658418043437507232592818591691590496902243032016269060407852052083764262032101966420105949429474558910840223324407203879865653261810621103183607846832997012605475489166103739116046991715556665604339104754649047873283939267201897931375838390876274566885211172018122283347592385103045611872374494056022496102557775114209362327549436311818387760390686678299004994398641230636882901387446922077486693843574969535417488203572089287753338660402717732672227490865481546847242085146855064625080240487124098493487004984260926485405363272162068138989271545168557355400620578701125862097743176756133593552365444345159333129582114275177484236217775862068859534499620339116313224892766312245054474189601386919331328108229047620238298416864033197870895150449874568053164719047730505964365472991272831380737483444775403365313659818544553256351381797435038787817179208450444020497850071668934189899364724576604093424987199704867665437490778118732592456475896597677212313656089662213584580982226257697465106306139189451556672975594098920023805605604081479043278686749240512957315955385902127328706730614785883506524023774554632983203051009973817076945037129518974306020999507027239199146456878573927774481712495690314251573042975575861047653329727210728000307980562755258958326874536198347791184783490747769216752598769649973759838877221236226520633474765765678486692460681904420430203193934845150018611522245554761221626357309513660854253927481170316975631244097836025009371025719970462424350572849137689828801168862540139773490559874591065791943581286878165486260462287223784715023663514837046101082892214507957423401896902749243561353934531871039184596794786163155532407531959164359289044895160806138126816385199376578868276040907543056174881351652504610196802672948402711375813553567810696326991273795232509442653645673129856519033238476739210742690225792458635314703545323170863660119379812657216886915977090256015666574012769580959788631651965605878027822775794065091324767262170570811363358623134151373043506813262250458911727775135935908717689068907942763164682992409741882234211379853485355158051339476894821875799555353763139087290785187965896337309171429545562808198826425172597811225837601095063449542973311217641404526042784290795480267684159511158000032809724242404279758556373308956627453462747388308662370277903371093198333391029142292856627024218836748010254030963542409983464869966366368413188246949183224376339172824498323668331875539631340944806629934015627070612427016056506069431484313664431391126101278752805382145842320891191548439939627307610481367638080139357117647601916935093498429453935083425821425250327553126677035148987023431205467828828691614288459369459314454043927571264079261922507897084400222567465520463789584351908167590806566154901355988027631780208555883690727028962697895903504299685256200276725143867912572033235804282310474855185571538463927296121457663718264689596877960741102758152118078760178120780494580573435119383013232159336831446790653531532154164032610185716034592745757166659491612297716911924879144394878938448838577143752769498496227411192001829060820995229495853323685585807181019846087315892373330727271830721515102151744979427454975981753688935068277456506259472146168269788722268644318965546052347026554188465730281658289224557526293938637505537092628067359117377862783399326355195980515313888354017413533724180380562811987252392551078890103359476449215943930756421608252705165960300827865195805628644218043166501587479926449596041175126242340147238298992706959221841146432490398938604728833258447314577846259455237790869971722101713461401224632694121888713974713435353540090452718393282622678094572776643476115638196610716070423993768018125157244230065404307755723657209587246902287104348212091104589574191249436734754461321799594712123628358060289874855772900750425605264339205334697356017438916033842491095580099839099766561710299534444415100240773806717683603788112399054673200891004406545035825791048236335565937582667728487560376579084233462237759390786836544550608300404517568963881360073076519993472958693199229495669685539717705696448006436296934093202747284763257717215761991151431208404730910979932569501031464256660130494841047332569846687373593241828498866897092866702357788571655188985461113355459120658641899353338606291099684139827243037328521902207059849627679175650535125096370084901996000269347831927320015568012444174448974595570413201481213243697703288872323715379467646563755037399066026469194439341052142286076277621716898922707216109345502722995296551209306128930811960314943164137557082117034678055753602483440001692655453096404373522634493412707845551320742241159383196194227956514117577984708664467870392682363404146942788331253927007513677033379128231856273518035269053413785524974865497302140426138957121459499071688723654282863675373701902044604201706177254898356719436571752753696214546651810369811442474453485811785446050513436078244895760814138105321015930021226704671099560881884301912770972304820165449688083002947438895883188324130165393148056550920006545705747142704790339376998691156833792875916598181313423625047627169071368435411865635626617310629564172214826087327082379676608061035610926386084916063419287406211489858377121095647735065269967689893436369692602184556261983406379609065476641797058590720448488754994264286196303219207133705329128361699792883088312200560282496793321783770828051073566035288283677849567165061393526479884574349628616914215591032324986698910719893974756499744140479002707511456971115597299345234088256392381117371130943899494440987733066522227431404560511643386835243952503417273263583738493635288946421290270924676916062606377006565828854016455133905859446314627599582245133329796213799934019746640135364756615207913212418283997999703633298497323185361577964635844387730049777517558878015075320674635668726611941726039171650275389018694456369769491606024821645962277016232722491822305358148172839323329426340591313562079011123208971797850192489674291522573286889414077018316514320999399764187389435816176129436026344947367166007390161267433234065156084168105794243053748755419295230023630337475629738082374121300361974312145033901077790503838769383130006122540044598860436415989128205058856776852391121703568100358342969206092860185637397189483333920602141880700608969942328210528830273385002574250339573573864828119300736298926901379239025116232323858667791412593362511379241564972678086507749966344895706028958051830842364267125549715515306564842104148684382081960140914705300282738486825421946804986304919837220663327290978510505952504519867204516159619948766463361403713433455191185838371802784366459873673565107675804881195251090511294115881548464843555327314631633033797932003309215916283074097211058507558568437576538710761142833793406976908988396086526598531478594978191838427760840396023082869007648754664608301075058510028459967167751560240732736907832408133057208116948194894988789729279962098330036673785014691415252969163837379180817619423994807754171048198454580957248801248751277390464521869290862055286033096986006471908733356099748326892782075236814510759911363767280897874349008850876578754333233050569669504657554621205300901469592700712112293285004319398898283037385657158983293000885244384389369525044159722449379487479375643036736529573734239749997317628467909517249120740888697019594074011319266393925848441728628875900847383202135190020184`10006.;
SIAMAnswer[7] = 0.7250783462684011674686877192511609688691805944795089578781647692077731899945962835735923927864782020497107616324699847433558169808593038793560189413887420837214155085964162181967912114936017008005704846219858109957954060955294850946641192297140189746743304816070329550269357026200201178862890337898909122365989055906782239653401915722634372746832723007731628984808369479098057956525947690849249487995962755101401300574032192864322816196744148402613966543415463355456269040316010649865255555172474479034089216261425540950368245389360417996254328833428031345257957011293868778122950434288354797817269503392243262931366517810625108483347704107274098701421149000035421103341410305750184974609852461268468115599629503342819957833286981449265966067316083906515129775664888293805732896761744194082057110645736367121449837945834218802099072709299539790453238172810442727016094662763496330510690554139223036437934141593109043128247494862625315403185885587287625911707711339163180971109292278220273076363164056072532421712766584664753688470176254789061707734135676100352672020910917432428620739155801151782179584225242494622176632268722586021291450075972763519591930133762056078045947109785368940087218738371063880047725131003843943508415636971365616405982780055262407137395420248306155007616263163976554869542351988075069170871516679777286489974114659990428120448971917201378236359559938601174958114947088546650050354700001989092186104084302947321284953662542797221266625351212418537756844306424437437013843298414057465800534237020694709861298634837135166806410776236249726516431958405849396314136272230073282806763823435382913310242884432896844402175886790609315383712791534749963384778668365989996107930518068995879971487313006184427224714282765094771549438441039123760319527714979782558124999770902787424603054580805551915099706723950771272108727716120513697080629398375660183305366067849276902579433167512858699270772429802948581816105018213050675131216632181026607302961574360510961971787273320798369705250755104441557278645798078031115805075283559484884063463438080280929176285498554632968323312572677723722084551039158577293636648557944459836276381723486562634571828128621793862646971758074371353292041581085628858183427383902835931214391355755756028359373804054192952959531909404409348309567786701010582511512279508961928225953216019870090455583788657760490421944447939000320177858481512550282364162595799298392934148932507233762005777273856049342110595812970551047520655307720694385213272451456276512050123100041172024025135522516853802332701245510131312792568820756677001029245075125849553533187642452963013958005465867869352168914779050114078419432874583487146454938166907100043443393101525265506504592380100855994428899849868986156596826097289199554328495017918041142747194404048300578011025015496905994448078893719112539034438658728275054698941359801698227552534684390291922259756840216893510994638499818998114585732619709706073814612614246962170379885953133151001549001687347858895668809557126167367090026813230356526435755214083211650649399918383296416409608436138744544911375815324829525311733204847348514685296981986947018722167853529048995510898476122886651611488477919126933203443294713945257805414975616678816984353432919036265526534876657190247143876797691552712485035271574026582550559299747065212862793928212236493604208416507140086324840695399765356644171307344064391272701183769279779056535710773595748630748432237394053077912153309381993702614021689636556744498780528866682540559308754972426761599288044780545374949572128142531851621859286725123782003352702514955266474867543550309262961027759170421941024595169437610258494217062880746102607462879375616774434969237796473945185452264656796440746119798329263798256093511949969525290320434411485689833390042225588543096498600548826136468303646812500328621268315646997574829975897597062759061394928684434023830908082742766660903603091168555975529228632045258533369894372681608187821661634167452909391841366373653964037313272679602364639209273135779640666210219650765153538509290312650923001964043047859612693383001782833463953158320689368828520884171319819710699817761177979252283548716742295310378869900743255699297596498642262347458671520146255044622466110745575688933373743855806684325292215581684485599918305487324907649011817006712996925746658211741932768910908055857442353992467310227246665138723001667204642378677373519523514908520871499158957728600171816243986062945675732217093657947124265490163097711909421295066481239542615441624695094875930680003582869953349759085690794476953024534752681449477300850860722838332153725668647919172307071736603850930110788975692624027180187241233259314634335709254993265199610356723368549757483845169104722043582530809426435544049589189753064866534107140258851115454232174376258103180211288900440191475541756890923277912551035146043270091405273561183453732710240737488903416128938391334047174295698183652553153487716642441933742312245042536604419673561784627743455025147851991668955572784514949193954024320500234338775457309417512543078961511991291255645666811213806271059023954512529357795975220245581360310557215391031409415811163444330667108157758478125895560868793691348634609514003376977517859943480172769094909848701595861824789415183825426917265883985324112285595972715216181791709708554271735696968972298966090608968693936051366647424669111184700496228724824373661496792025603442704491221112901443580239804871587336867196598955037422308791207207718154576243628664191415358350416494012948409830388170849640768273791950275929018382014744389390955831918292451297972208832653817289225162664770240315244646786968410494788433704069713897145746834434040120662568495844055374628414076221132747140180164748235339525372321376397813211585564629576963085678155038878746578224272033771448481773753971233701310798590329701717966073313923204425244885846126482273367891048920173099563118878810971551315193948591754937635759388236481781370006075865923211268446571410647985055004260513724706722870307652570524073501368840509916723172306230148349079304306853264635693933002208709900565619607518475868049045854106368847777011446116277469952203657514414264198297748314864867155873937913585952019859190784910063016681967154636116963303279864992885223672986221507441621084236905090286809803379740656199724543247708798970833919236766658460162934840108263142549492911161392584078911088180783022914180717712018923400318529063416654564471091946677934847869661958827284652733199119087546099769634555321886174475235020430000691501053831853303885472964580111671005603943577790410254575014057558798467295901045236607928609373452866152455060837658866660285401162943159256558410222119320981638242917166267903669193486318883474902218725330141344549326881038344326428599213227493831058893238383410933336661041971871371332195949242615662420320375521171451147698844617609423640418175811743514453694983802437228671700937509985398993485814581605216582084067711883449303974482928581246287728131702200907803756167148298045383727268164340711293996559855835925934531507243816465746041503264338137093631263874151648117230862320006468170484690048461079529402316728354461280384107480052069015099624851536030845798360690569627462569837215444341389564742005070268086823543409839141863314374571313907556952347639491526929923810743713014547083508418184568865538095491560529743217004713920716232101606968759188537239608009446508050229290291996763750126050137829072528781052863210092892767884735768440581148990568585655025186693748616873581136877934837686029446549543800184717132511712126682541859108212219539154406697299797356761666376072018473881166336538353795690400739865479859204781451212610203445205453344343933838379311048794802429087769375319943694654406595258610963196608377903274048696014721871509581952664558791044533923578307942084528660676472741292200123452879844288975148420581369880831367213576686053457245149703066470481471476860671141395593845288452834805616558483538262165761727519241761612336966059970218948708316032669835237157797311260475259697210915104725585599267516020768608994748423078176316809242775741419944051803710384402167393960890358855191392564673574172662715417850117180327200496705168052686272631218263305810713875892623159512882259624795491557726425301400430028976851417319108513761530675813807721901389925644478705749558807462153480742087084896144414804533170996595002523624197601655572982563561687544443597932339085606312001281097761491549038407534172410647553272076224009494391099226421317949992707357279006221633814889196634294737072391545844511305402103132552849967318692988270708793134014213301791195463487556156041643860816204059690354225640977934311484668872703424214247859776053391820694733021572787298350069470483832163276057601118895099590025856540882258405443730733280043681977785009494966168012746882448290982696602755575413091767637979866483590803196031492550219674030490422511895920635322989251188977158156698378071262638842033039873920145429278260273800190367828020317804048512808418667508438151672851977000354004150760724777470431996778483394844923864244821717751929338414419078929448856215984968904991070419498595937583458492295966477355852792027703644272330628594564481060725133981723507191672434893504603167872494961600493766315050527623900750970066266363909302609579568230533761663140826732049143365636229911683436269159352674864420321639194268629928403620309578466674381025271724274687937613146898400038088482992379073950960364283500851901225199609305259777414290259875414539937128541201057334796045108698437168102724490993887571255482583403651746409696791437236717267281941270815209897676739024293314373000818443798944364941890429846713302335691155392288064739331995297571230550945479406353968981129590214636312235761923448164741465365349297520278177838300606032244811714283466681945953601453659818612682542275602526991769194116562979787689523594894292964243621871127240518726571539095005372324343473551445987464929278573840768589759128818890145763607905234188088446593242566583883411778064099736`10005;
SIAMAnswer[8]= 0.4240113870336883637974336685932564512477620906642747621971124959133101769575636922970724422944770112220240820086462795017695271506309413293353174848636494685511984750542577012391541522417644853112953359729841234663838746771228117375636354149021450168091528285318839767680026374014260225715814228017081930709105029084261645693765583908527851992514001227445395862935656729241464263748206902710078962219841610650337271490890884216442321486473464593125585415586591862911631980828791978995218673394684072803562850815588424025557882598615192583148508965643775386291923823052407525605403669951339727878160265194904014221856878039577521707631591514220670089919469051735354618013813361811857189440746429933847708887162455475743701828367651851549699597160794716956221693499865567617287113172182587439450450856931668945692231925312225293633505412725371221652840306782105120084223795301692807335754322248917113440410267511139470639383867509084838234385342566091953658123039824431382465566765562673405640641777034880600357506835751429058742440813143715404487008111982782280423919802090056730438486800709085836138258289662025683334869719804026752182208018265308981841107008994174170787954269772030635805246264126552284961532111679800801937767476460545842894086998695913302186234730854517194715035375643623624152797553115006960027521720960318555210401757187968926668972952078567738975595543898157592406302039062108634927969604167688215090088324983712522268044363712899744956161463819985855414098356323117222330053956072185662715592747429899797739496838484349753361514470458173629911682092069634103868415075278981152379485819729223365456619579991369741858122545559547727383179818245729594052385791839595949195874299702450427339041933394455364259738036384348034119584541511224959771564018580708759966558277971358475825792118298278823980886979160959240750841233470725471685116438510455060283774010115543186591146623175146127717067141235591283656558366890361186809907171784616537605642173485824034002034486117558753469853375500249635304295819692313787926987790300767466376119863080636837999913013445698792787436777593577126826418178487614891524773174210939183558955511617380467383131911757769500445898020570992585051675476932179082585715261547614172476318037765566926425365939144648911295386357609687390890897126335222943607514453872053030051741672916828381893460271780711207112962675572953083484293324294018412948728476718306672896120157359253569088425521254520451190264792863104316015049756561298353810763233085812881760451499256468208671469693993222567006279110856371376223039052134167074878696238885665022414619463930892114509992410486865045822877528803052820732424466691640775063964673475787728491377118606783068858722378149014855719653982168507143328711744692253095524836501774977698729533649878484970335815114763534163591525117888279754558857536998244934404786478923330953887985110680829462534207053086229163309217487884192782905176320745126212940271829175039953765979874632643096389840073191203520859122028113550778629220768620918730044606992609766340052361382896380756421238821490855541455424488682392088735543255518115125040011269950445579667689773394964307086901477831507685296265101604617223533967048527384063915214648853616700757947881845481598351299363870351571607113799353519563251517121888265746734616450869557324291717623579370400159517098780242523115442621034767017864014464373980018212683362777454513792501742542232971747486951595948592843909880311424980556075004084778824688958088495315854046338702774541460049462429867620644206631158287878262247872191471724543789262162007422334394738034971349559059503800208997877625009081554172925884721438326693935894714984936024461440465111563943665289406528850837051700242091730541132525386997499792274124571992433377750976441309500188961671446174604576690283104312147859134309778133247280188696766369295485506083552897183110721691327072057288432160824873466247439458079745335154189208687779701533177106836728159135548142941290572922633711571146552984036564630942095233617622699314250692824464821188320780448129112146005921833451978420980306215115050332941565789314806870529791050026064259387687557546220553539427590196732467800588192336734841830133838356029563533909327431350442468985868322491265359424391636136022113944839152992692837513351850474939167308827931309290579322141918054650239096698655614168743547855836615538817757712168423749450939559764502642370435228542399486795101468044619037212696522385386365415416039556814330645210047551785391178680477443366301552607404924629593707257400591333920720176753669767143180170160655043287197565664955135717878388025028074994142135654953886860134657483360657005217769986764036904435495291705539107126306188600944561897791106319408217425240090185038522292988217868105292483996225497215280704624605778969589867275388963323692882003950756065670861621243520230849140612793707315089858203635286862219144281255974775298857046067889840301883179526589748012595434759350604915984845061304996627850991290562994742921530325971610008629485969519883291601859055340937223496470653748506129181662063610875804718306395743217438889853177113690802841860608655456360641651698616344372125575415706854446966576186990137101231077980337995438898460537695106332369840836844439746868949263006628931749196549239913887620743211040729187217263464183595672242716317927423901372544901995820473372172338775657491137798092764432856524255264365502684647660055604993238672285755050542866128762972228141527893127379400428054513362325283517659849820346517482443038991985396612642342289356441035772836972987882121931308184368303989628708036408732742948035095981381784224365532670650910577767972103514568217367850697577140011713825208878300763140802738229387772197493191324632567296944321368714892144353993220708076805203772251235308912882312082164771080365140155348431781540713341052021861654964308922603960144956333703635750345464463391902536606570850367079344919417564872348351118894048968219173097203514295007647653925044509988301146340493799384453178788319591641505303069996926381456411839774052925030454380511873832720015499783574790471198858228829261335844098848991494598058154785925526563520915101457486048354770798828146762939798648287015664103764109554676855723880360461325889536050222732015216712063834871999428143194671488304412378946322495658488301576524874443622160153758122718158352041565105683359059829531075257415908245931404186327950262567971331540001857773512854123427563748631296818681825872899956580523101709210369602835705550843783657270351700588096792958901178182122929652651770705414386140897896828808159981933860236489826295863115748211323613684839951254288165962779247496534714080434514361664229928259742167340080431148272902138848095485407988412385791721101469717947076302311920109817554028749849208326544248460859370661164512525623453779462644929820347109963644565456097566562292937191906345655082121872013460949060124052325606963724318744988893308434316229582554717415079478579234125185417864705877376604050464429730645218995201411764579913583475734595769026414385272912876465162269762821454619815615943129125594828249618983481998065896887864701390352645211734928719286387213217631835149362319651448654259123086684034368697945727661451911669356485950185236614652533093501972122178243736939410787191456090446740821474219164536137297821894546582499656131335527820330093407676395315924954544027964835879768023120931740773578230337601331812529161623947292521296438662825107754954013471331188123642675614059150044561611386178872299762567203913078104396357001469330090878129034155152022878882414106087219076343034507625391061898772393141242814985643987475729120866099069869139158786303757925355751963081608794939949806666838013201725583984910789658687436602447074334016304578512215463855004601512961160171394793647689855027867682020308978745797135538854803486370682979660872445044832444602465852180396606764760206780999345397453097723780904702621475195302650478784661469000937196476533010198951928201805747584387475860028340279063576109225842730701608888160433075452549510057567274477423585091891614820488101307280109758658588348818712405958497067301830510625756732249368742279976363095275100737627013950977617572835262794155772302940413928590062583461263468357890482740586786350046925929340225072591736233994686078924291288916542438300298729102605550865166349572875259570544163917667563127968758353803483442636899649946673912189354283119730632466937440860842508635685340792262786435631838436617108251813124119370649135597693332813321637388638380016007962292936428312660088151779392356678771422656678765639465361344567212128905439935706287241667213372975174130114179810460856723760212832887222209289724417622514794094333823711292917389756434435585090822756284495591020960954917423422643794535206948438911621374839517080691960414466876847078531312324633149249270940012002013719631281032720584271505095913230172329657630663682558776093542675289549369334894906910595763816115080628672650224188932792234125138811545843672681524911116889637754340423078159734515440787408755509027734407729263038452238527905085737120772065540359174218972642787832678317352334331058209637478414756467603277108329814365185988825807449566478577273322462952913785367861542515746980164330366461426613249559554172514077348036958351602721199226095141422109566510059317338685340784065008426702271315752845986665922429438209380019473194759028347907920111006097637501490536253415805795774321550379940945494000838606682324351381895117236318224701936689663176951757272135791111836702235313032775185154854112795957874012397760771614033288539894311543329549228221733888858544539336023710941879151891738878907688549623072980949138920844836374628644196146404069141280645627267884529010010505716134736605468281968687156665825678763567732970231162989529297384436913832204199670903529812340255773995063256915125892764623170572932369087020408826668178172020948984884301093464376146475689116431823858134030481125043891490371461114040649315754843453979377254537984839522538954128566377977`10005;
SIAMAnswer[9]=0.7859336743503714545652439863275455829623954590618668175812318070989103971494123651167706337659944952717893069555487523097434453976328231115694254880769738288343687263560683019450081034391856308333471899114887489552929865608364851119059536014213560546787585656444794795727457950770440886142182232929240227490137469664121234407303573835857223469692199461075655164757742854185490478045667075901259212597653361653726033851759220326202286761388189410249361268852171348232464382536930502088177528534760700608010799199681146029021044289659289299248757887983208607548669287153022253283610707080081517658210195347686340826397680455683789677645002482011025888594483515350866186076893014948195065686070835957213607006695324386856497048156616595841493065168056458760372376332891680951666192053835887234612508323769889857037764937479465418279595604843167472337983959661667364269570227511360887713000864308255018620409278924018858390481394628069044993643049134684412313732505868631960657215150418540180168924966378825596503280888145780869622406915565806927207903454567705799327761008298828478475430274018455726431334101013453476943894776885648544890740982324812651227736220660846672945857756617685963775900517964672458559116037023045420084695628188153229066852116003435411002707707576432852478146016067628290072565289239176604143902060959993227873406880438552934707640519071677979216529546787197337904511191031847641276956058165034455204003239779067405637112274064074800744786398543217015858961425517575351146110060253037285730744832995090642697012478070252908203837792453178216585913136606296778973437535526768599444205785537472022216459778515423450411806047469911455111403083153775221344399751932454685782686438488699195061611531040489884298408945024463087291331120476216771967033888479485677022059221011954376913987843113502755084407334127037802987305882320766579781322161084739355245159408102242536762997141115881270206428181930144034427271492695042296568770499135581163259036024233809661707449457068323219250032489286363444715929819256785554763702830781039278857624289178002621154532951848675800889093852264923301956330908542961161885381292808401852547149362591807444616916829943752458999148335103758365231640271385119175888006731973188462688575087643566325506296025964331364734176032771858578577430223235529283575469304484830384395244614904760850753048130022412023974076621906246187296998910951835432448293722844395655364237194841501168568785583658459949686517625289070425093938866318452174548565442864480728445917646355264578792052928247936319777038665947437591854184836193896842365515553842882849107028957938579539431921703120261023511775960144002289871708043962040573371806795262381406950731956972563136672018028496457109292153272843413678886578461029225816261290688804426847975783955128219525749268394589177178191622902248837275525963498371577162563149897112672121942085310590084381349885507481943160808434096904564981142331795876520093026168888102888506951340401382364338736858610555927763726172460005165578232223193562614399288310323017321326087668051156413400228975250547800274667281194143554004367066249224664585075456093051860693676030997866442661744182407100919852582765631502478812982458076670567998510597218822595549015670810495931044852413794386620508239340895311637351370756483362237992691704853902766337972106228031795722572290228319587586620814974474025387300783662656880365000557561673439999289388117251137749320595224960065947867651098898660489164646932761526849547348423039743929160573288902739329599785801249707904178296237912829124328903194959061479153043860711971522912779369648397884702554662415094933232004160004052773694869358814008675534021264926551406931574235149470861199437504907129795455059812525529110513588205358991282975081496843916228945746832925116301365061093719897150234859945497019775382254752953186907504987768148355098181002484656614632814817219690168253554430086298243665037708472824250442422529837972549061932658908425996691520349443696005289874104091219023461376001243567138814879138555048094798382305787956304613820358328123492210800811369852575597071846040620693687235639213421060949180923265915069349936341665535027391396009021339403630187034591718357708797829117642945282736287722584145955579742096432445686987252266937298537391904060354495395650645111983849123161088877084585582918221068519380627613999151527677333555933321261485873670637228723590464006632090069747268785923272650767512501259899398455043356275387332520989341938636355128059664051001987150720858764558849373477874605161586011149746733105835710063559625148868543183119897067633348792260992590515539375427653716611252574462129811948772360310330571876461876790149979917479382539360778537019306512503490150881245544235808764521304346559652854913084084973072192155308861645308708267654505811659079143671535468936796867962641261626629390037666813889204024024548638537247780627404297364624373472895607083331474379604464361786535186301465820906226773737449867825987413180454241411659726760043116376818710971503303322793758843775849262429611309675096225254763932880187391698811314619098334123345463928914654239875749306714126609592420365078931921208171633247376890457506477145390525976179535560053838582291475564417021816674499563399914660636961700967451819581457844127192134245462118773207070889413673216824827456984029378127065252834066898739320208146762938105353656953949533172583719651536295548167556220847314007450564616489735902156417293856011427029996691350007304690919791533058405684847901885971438146742510182086509409306081377497512468714915822914000695487372162576226945597836398756495142318527524216367885496018050245235669096302689833913139026184453384264884036961286330421838903100995939093161860968890306643228206881518467044424704174925032194621943962626432067245663387925731267174094925131435911095242124687894486915830088696652565114349797051546703194892221437169400054458653704006819676773008486746812758208010045595318857817691930528498061989214552695741626707576004230112700967362078056287484997218203864265818463587061488098261879628995670922296875209190869211081752239631588986792992516652722695099784839393471928325136928044203323489554500481372831093294179067544527240984670671881073841841434331674578533134076770686853425941468279464051512399020113224748843238037621919460484551917741907990145482330508025275598994342590388855425464501726471921285264616433030367433733462376216801234220559478050369686808193683657350909756737677993406948150860491649572864627841310532753677706648815462477740681688906928609579659834791520565312353763510656834868189555771552265873355647223204108591314245686962241370339229178243929073533449577664882220081722393090542027057635327604622322575270607272526866351609474052972596313056417904059493356372955249464241072814276105270451290640207051434238462633422228910396808846466951366634097109148929255594941865550503292029833879563650823025152710147233328715906274008541835189816871126339115990503791010347366190944261020439704764989145275809570261083699774173606719559106996661790153411926820571593893878825695025052568590692515229749608229337060338141640697790605407034528356210274640465326591158298180700637994875353064514903419356207943873591258807516597212098516331434670634151328057771892292909248296232026232716756166605395794646084086556049613442037524949137390738531905787080067156994221427971886180346793969293847069953055807778222241836872860977905793790689657070200188025853124228811995852286522620357592399987768610920216211129795473367217368872872850282613084430645611119800262315121580999477922037741600690515842680757534911271691849839938671076815138858018796713319953002267007461535638607985653348870041375854904371872479473907889191582872552551229991303887386499605210313359215899992176809391610304558700177957593439405979619384416951407991375689216595490633565036628750331547911913561383071164938795239036095181408176812395009963814930540336781062794331560521443686121596463153165083696177456271266817131903678865048802525482156926458644059542166690828971836589817011867228845146552582023899924801857246846597115299612337312707458979676973245081365432177979736015356829186686058685329912334282656510050085549670492923297061767351405045676754512356320563461917735526724311184659689103198859255332083973839087335717236287750513658036752618901124334442476523704815745498076874004344929547022755184691755831710988661479399269571900069814376148105577309937493488168621441910726019195051008849492836858061516243459003013431324295223721604830969155767882923683439454280755931076691550947163055372688990888163336276909908792594039771571603544063237114777276077259672543452238482113498929149426408083132600133182585082775641743697092102032563412837134511651143606712505085931456359202464743425774942016361700116714074791663760170435301598909109010569083935013604469252484919161232559099518387316307356203381025573387588543205842720344009549580833378958764949219405781161572069836262972167526963407629992737705260964882183556424415140908927127927969405511155101977654362259542470672473207690885300382203617715130139128078126273028070095839741972805817342811471891072116079258974226730071876726201236160547469941249378073654089349712716590794018499839618130390970170199943451952365864462368528382582892032477207710697471250576798297479833005486612616335995592429077310316712627980742282458735125804638024923881801102335532390704148454756867261987183703909211018577102349258752055997145525179856344015118361011489274870418676224547796194934899545804571039477272832849651474423337358989249184079495262642903913261144972096460662386015652466157542203067184811644029531439256692928228193919788679752364476642152770925979282016334329347981862568110517749490810398188648106825351258026649883836908767353016575511566786718139282497935141513753082026466671847395453929976440714657612346058622947261992174612900035322667103814805435852375463815006719979733274925469664579104109602356353036662703440031296383050364413660482636313827146326047716780805938858914994098783`10005;
SIAMAnswer[10]=3.837587979251226103407133186204839100793005594072509569030022799173436606852743276500842845647269910153533872778317803831155446602429138550885041034413877481608759295735796764777307732929517401839843039313801647910072495118120094152068053195973521380985345213139877007765078261973149390177574688899884444680986326264599208222786311389993223965825814541304704619981090190291217606459112130890215289906014907236375669781752076168480680111749568304944804326503582334142694662588037282616205088260638809533228799904415233034465138660464604211124375197538698573260649592385738647751091878362605260951809030770838782403065485925222816074543104732274423855154209677870238512798738694200199010744127977152166211550202822663804167331538693609358255390240890217619916497219471784632602586337758107419192413974681745158181231843202203416063899323259130536841277358248845315803107318121306960895103874174824948277934396667809339607256835394109595081240644109257599303818887286219444623642574992600922947153363285561594410413234561576168439159723323849298274286426095614228204368580596103720831320116505192647858535203580383550335399911132344965346268721159322866195315080202716531494746883969197031156638559930537711922238562772098876560539673874560114374142911118927007360702336221969006986465836181300080104493979430379344076972196311794074002008411441267235470873574082940871728532497524058680105397426967852028356484411547498237394238272629968237617924876537506151488084048607496766811382294672025424183758713790799797612096004512114486866372894443451021562191057055650810806509182294987342950176404947901646640978669051031078447037902302050326935184466633194574502329979031396970386339603363674811197881317038539581900844580793535304986747538468397452668120417079553563143557044731000549106457796731301739100773411291577132797387505519706994891932580144301452874832271956807294877003716312687330907907768144468950988074506800747710562305180610619504394110799505764116331178996792296904425730696396434615012080599821747670147667054103650292309350185221094016841814082264504710778219053582962795403204928445569098167050502102595435931373044737407598970307152101749026321612258088558063479927578538795542313088984929487177680793676721232506873597938610053565725343612019160514672888163476562357461892267742562444134093531036264125832596216278586756407034330334940680282076869468291826022134500784783170003612329733637932091968916461508813209501879861505369033140880498417014229277701908240979968449629526065105567255390723669805054595425462587678494011619808595666402178651212479294052673066131314797629551454135688098941359713188772083406499746128519361904269350887999267408472501223620141156901939324333002619552582481741564000247939335941451680929560679576207373979226496328666777334841431497518121559818311584657839696986007881982996805711861456534161085907665447718888907566314714098778114424445412719048706474400254089686047600607798402951347927245150249241323337380811852093691932359665561317063769433881045252985865903004760791420188480031300217352957707283773557320036517547838682085575954189736713297145421084686831444843145157359618903004577463108933492838917012573356937548524908083798078618658010879145025683842238483998715631957814857433773173968805624455364302245829494036822022551871608935133584324707453527065483307492297299500534747272663485573342292977535173019527952110343548187990674508238591307980888701132140950534941670411288873712478612083370459046750174208278553195031963087351817488716026848714520295297248639288625849407257061857488367892240685067769215796911281891087730797203465034949261778804921353823266553921507638356310925138892202864794928336966721929520138148403867818202684308845653667723251350110583529908784724899352644315837711372661733870127786954277212193300266296694552615588958821283238123891768911407201832396112414757576535421445873860565378584567047579319127594191539120363149470011986165085555772153831055509793957005199395626137962005316892220519768617051835150597756906035312372146253854899670260768148100082522901508269175753542209303071770277345515555023156529607422983452702105098256991669319826838290212843505178046529171552177431187363812661117664261422947055355896434951854789081596724492213414872607486002740762775744343864583179828813397932478801886256001318630757698954668337230667455954435813903897508569961816285010657229347894759847396562159686552534140922488089175011868572744134524619857138134251287247570102289423146915960188862441136052130628848935811528853021028376783163893153697790092269736591628468843424969503283430130727425572643748429650235180911118511455483172280342192858070496201645914395274687594542851548408983355239060526888606974249989486355168791046756051482887763671895134747254857700954748857805415565045841866455994543331967825252070962667716294877429811377054900124656381966320592785702425900335859297494544525829794185746956431500127375059433137876482174160087667924670537264468381970823986359772032422294644477031044277138892131072679862278708494075281281466178302231634825756743730680389256524882460565176613544720102439914664672482113438636033277080140561441930515523557096055129071027732299307155198421644097593866134740966195106623257458512310564922159914359826203143078827828615798074957413080844428536402595498166913482449910523689417279301206729608283012622302322437148064265734221173403190670196844269296933165753948576894188412292801023181561442056873004161768690913817004977555660195134662256058610102779425422038965635286900495479525727818326153412517008947182440718896432723854558665869330500541757266303060721685179679902523669478609601756020609288084453117304501250452060697282851510555003124983222394314101198471720932888487054887794008921995659789652675982038004383045643773070316711227517958124550415683092938919497635196235792819976396889249372255543841198252458570868258922812743021161446465608773173140229783484575193120870478754447102288167134757073719280900658460683999875765463520233662111218914594129992591571653761652166678024432684352120007160013942660102070829077376660756727153651058302011876006059827741353607223977203132107504072559904407877176609784629514398045063783977571842979924412737760983809923766217768386612585931531371453293521694808009238031235077343725920428498972137513539467653609654362377635115355359237940203276416875319040132490989067233556853988399322854267166904602754783616055411643897911072011412675796712616812056119007523057839062094374415903257788461425427612412592043606890086229016441887522805295436192736946069874597875692819283292532390778722330472810036911292170458180701087505394520277276112200442400557683977621115772363310527124210435683415727269816767017939443814653652867775494661904204806414168997394761563541473364322719513455371135979271001954697220692740594892286992508929883348358061553953834985153609656297437977726018062848693581800576871038975943421649434085564408039112734705899992122158994396745780453277305467098817509225262769640616552619221798352847153029660558818616450996686574703580810211830401140533389897805149369755801669625385961928272674365966066215379006690142081844344841967366638360782380512347683875255298240803467563236316958234157785666378213828967507778718207675794549071678325594450442258931864344998836914514246377753487135225201152746704298284544550339592673819738913388464844214201963033589882556132964755839533819438199938034596497331087304273118934514275686903673777552363468643436725408654971952131255985963662348306858619743114285464416698996876345833712253100585921934555344629936905987621836413781947976948773214436416348544752717652898603376689894047513565955119669671125276939038905430556919258763111899904971174591716160447881153650520565204232831315582519400824754456559823564426495189546574958988626846930408106245208013710931833140190289019614414810926012306307145229787742958380320076449478194072128066724841246395068330067189704159925856640548643198389417259638647622669072846319417228668785188792158597015702175573091321600624263560436639501146738115520876374626314921531179392482023360657559482269043473898886791092013817458065188060997556907784078199143167584148956078078115058622419176523792922437037248951640836464531566065316610650696529921111685417306546616806774123416872520292176928450357461080379260909614110621801324527486620482483891099909307861072156369419160883463302609516668998709846350717454971241555497695189259624757704461626392194122427388875346690244020506864056489706128556744865968752523851933680928341624286434961925308923602365004198905507240675785369319324530830585226896480917333188799207277754763533913777263149677832826976287345758934250235244961667409044372545707407638363662520532189137068852551559135570590632446114474493824701839679253928468535508032414968370540613428636691994354817513354837478729627959297833920963126199226024265556739996443550803265951731863334772229894299930428057983505063649891033950568507830599200643880263710982972140593300618502650579776259252574273064813699262634991391218958585591228280979061196725506713813460471022508076556322248062865698699802875906186171132416392581420718442489858578350209083514402099312597815095178329600659129765502251534206272921424157936553336408721615546617565837552898546144684280212490271175159693345732548471642278928239103227101539230883688200606512040992142440280999447954322376685914967578462986803818832354466053564915219673263040057404311622046345131138291662844449616418106005677611396484033932828652442422577553803860639604080501119692808172061591725046693343812401678963375581058317570317322631663310711843649702109092088574321690769158608652927041474284625355408528665320999643988245699563185440206887014259848995764117554350896411264611916797348047667628278258153498183854295384879395502723379424320769290049903147347253582066154760655665878080369798864298310001479338679185033309592482986741436391110691154980137772710458249382877865830679431630184119661123636131389822365758127570525906528403815916946862019870949937807954846773853`10007.529522401097*^-7;

Problems

1. What is (lim_(ϵ->0)) Intgerate((x^(-1))cos((x^(-1 ))log(x)),{x,ϵ,1})?

Original integral

Integrate[((Cos[Log[x]/x])/x),{x,0,1}]

Integrate[((Cos[Log[x]/x])/x),{x,ϵ,1},Assumptions->0<ϵ<1]

NIntegrate[((Cos[Log[x]/x])/x),{x,0,1},Method->Oscillatory]

Change of variables u->-lnx/x

Solve[u==-Log[x]/x,x]

Function[x,-Log[x]/x]/@{0,1}

Factor[FullSimplify[((D[((ProductLog[u])/u),u])/((ProductLog[u])/u))]]

Plot[((Cos[u])/(u(1+(1/(ProductLog[u]))))),{u,0,50},PlotStyle->Red,PlotRange->All]

Integrate[((Cos[u])/(u(1+(1/(ProductLog[u]))))),{u,0,∞}]

Integrate[((Cos[u])/(u(1+(1/(ProductLog[u]))))),u]

(ans=NIntegrate[((Cos[u])/(u(1+(1/(ProductLog[u]))))),{u,0,∞},Method->Oscillatory,WorkingPrecision->24,PrecisionGoal->12])//Timing

ans-Dollar[1]

Contour integral

From Stan Wagon

Plot3D[Re[(x+I y)^(I/(x+I y)-1)],{x,0,1},{y,.0001,.1},PlotPoints->250,Mesh->False,PlotRange->{-5,5}]

Integrate[z^(I/z-1),{z,0,1/2+I,1}]

Integrate[z^(I/z-1),z]

Re[NIntegrate[z^(I/z-1),{z,0,1/2+I,1},WorkingPrecision->50]]

Michael Trott's hack

Solve the problem using a "hack" by computing the asymptotic series of the integrand

Sum[((((-1))^k)/((2k)!))((Log[x])^(2k))(x^(2k+1)),{k,0,∞}]

FullSimplify[x Cos[x Log[1/x]],x>0]

Integrate term-wise

Assuming[{k>0&&k∈Integers},FullSimplify[Integrate[((((-1))^(k+1))/((2k)!))((Log[x])^(2k))(x^(2k-1)),{x,0,1}]]]

Table[(((-1))^(k+1)) (((2k))^(2k-1)),{k,10}]//N

Sum the integrals

Sum[(((-1))^(k+1)) (((2k))^(2k-1)),{k,∞}]

Sum[(((-1))^(k+1)) (((2k))^(2k-1)),{k,∞},Regularization->"Borel"]

Now for the trick.  Apply Wynn's epsilon method, a method for numerical evaluation of sums and products that samples a number of additional terms in the series and then tries to extrapolate them by fitting them to a polynomial multiplied by a decaying exponential.  Wynn's epsilon method also has the property that it can regularize sums by subtracting the "infinite part", leaving the "finite part".

(ans=SequenceLimit[FoldList[Plus,0,N[Table[(((-1))^(k+1)) (((2k))^(2k-1)),{k,300}],1000]],WynnDegree->20])//Timing

ans-SIAMAnswer[1]

Boersma and Jansen

Plot[Sin[t Sin[t]]Exp[-t Cos[t]],{t,0,(π/2)},PlotStyle->Red]

Plot[Cos[(π/2)y](y^(-y-1)),{y,1,5},PlotRange->All,PlotStyle->Red]

Integrate[Sin[t Sin[t]]Exp[-t Cos[t]],{t,0,(π/2)}]+Integrate[Cos[(π/2)y](y^(-y-1)),{y,1,∞}]

NIntegrate[Sin[t Sin[t]]Exp[-t Cos[t]],{t,0,(π/2)},WorkingPrecision->100]+NIntegrate[Cos[(π/2)y](y^(-y-1)),{y,1,∞},WorkingPrecision->100]

%-Dollar[1]

soln1=NIntegrate[Sin[t Sin[t]]Exp[-t Cos[t]],{t,0,(π/2)},WorkingPrecision->200]+NIntegrate[Cos[(π/2)y](y^(-y-1)),{y,1,3,∞},WorkingPrecision->200,MaxRecursion->10]

Plots

MakeBoxes[ylabel1,TraditionalForm]:=RowBox[{SuperscriptBox["x",RowBox[{"-","1"}]],RowBox[{"cos","(",RowBox[{TagBox[SuperscriptBox["x",RowBox[{"-","1"}]],HoldForm]," ","ln"," ","x"}],")"}]}]

MakeBoxes[ylabel2,TraditionalForm]:=FractionBox[RowBox[{"cos","u"}],RowBox[{"u"," ",RowBox[{"(",RowBox[{"1","+",SuperscriptBox[RowBox[{"[",RowBox[{TagBox["W",ProductLog],"(","u",")"}],"]"}],RowBox[{"-","1"}]]}],")"}]}]]

Show[GraphicsArray[Block[{$DisplayFunction=Identity},{
Plot[((Cos[Log[x]/x])/x),{x,0,1},PlotStyle->Red,PlotPoints->100,AxesLabel->TraditionalForm/@{x,ylabel}],
Plot[((Cos[u])/(u(1+(1/(ProductLog[u]))))),{u,0,50},PlotStyle->Red,PlotRange->All,AxesLabel->TraditionalForm/@{u,ylabel2}]
}]],ImageSize->500]

2

3

f[i_,j_]:=(2/(2-i+(i^2)-3j+2i j+(j^2)))

Array[f,{8,8}]//TraditionalForm

RootReduce[Table[Norm[Array[f,{2^n,2^n}]],{n,3}]]

SingularValues[#][[2,1]]&/@Table[N[Array[f,{2^n,2^n}],10],{n,6}]//Timing

SingularValueList[#,1][[1]]&/@Table[N[Array[f,{2^n,2^n}],10],{n,6}]//Timing

func[x_,y_]:= (2-x+(x^2)-3 y+2 x y+(y^2))/2.;
mat[n_] := 1/Array[func,{n,n}];    mat[4]//Rationalize//MatrixForm

data=Table[{n,Norm[mat[(2^n)]]},{n,0,9}];
NumberForm[TableForm[data],16]

SequenceLimit[Last /@ data]//InputForm

4

f[x_,y_]:=Exp[Sin[50x]]+Sin[60Exp[y]]+Sin[70Sin[x]]+Sin[Sin[80y]]-Sin[10(x+y)]+(1/4)((x^2)+(y^2))

Minimize[{Exp[Sin[50x]]+Sin[60Exp[y]]+Sin[70Sin[x]]+Sin[Sin[80y]]-Sin[10(x+y)]+(1/4)((x^2)+(y^2)),
Rationalize[#-.001,0]<x<Rationalize[#+.001,0]&[-0.0244030796943751719036133081775862709`20.000000000000004]&&
Rationalize[#-.001,0]<y<Rationalize[#+.001,0]&[0.21061242715535577059159109545516178482`20.000000000000004]},{x,y},Reals]

Plot

Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},PlotPoints->100,Mesh->False,AxesLabel->TraditionalForm/@{x,y,z}]

Show[{
Graphics3D[Plot3D[f[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},PlotPoints->100,Mesh->False,DisplayFunction->Identity],
Graphics3D[{
Red,
PointSize[10],Point[{-0.02541875771380319`,0.2901752668435903`,15}]
}]
]},DisplayFunction->$DisplayFunction]

v5.2

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"NelderMead"},PrecisionGoal->20]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"DifferentialEvolution","SearchPoints"->250},PrecisionGoal->20]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"SimulatedAnnealing","SearchPoints"->250},PrecisionGoal->20]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->250},WorkingPrecision->20]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->250},WorkingPrecision->100]

v6

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->100}]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->250}]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->250},WorkingPrecision->20]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"RandomSearch","SearchPoints"->250},WorkingPrecision->100]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"SimulatedAnnealing","SearchPoints"->250},PrecisionGoal->20]

NMinimize[f[x,y],{x,y},Method->{"SimulatedAnnealing","SearchPoints"->250},WorkingPrecision->100]

Refine the root

soln4=With[{
eps=10^-10,
x0=-0.0244030796943751719036133081775862709`200,
y0=0.21061242715535577059159109545516178482`200
},
Minimize[{f[x,y],x0-eps<x<x0+eps&&y0-eps<y<y0+eps},{x,y},WorkingPrecision->500]
][[1]]

N[%,100]

Attempt to find exactly

x0=Rationalize[-0.0244030796943751719036133081775862709`20.000000000000004,0];
y0=Rationalize[0.21061242715535577059159109545516178482`20.000000000000004,0];

With[{eps=10^-10},
Minimize[{f[x,y],x0-eps<x<x0+eps&&y0-eps<y<y0+eps},{x,y}]
]

V7

x0=Rationalize[-0.0244030796943751719036133081775862709`20.000000000000004,0];
y0=Rationalize[0.21061242715535577059159109545516178482`20.000000000000004,0];

With[{eps=10^-10},
Minimize[{f[x,y],x0-eps<x<x0+eps&&y0-eps<y<y0+eps},{x,y}]
]

With[{eps=10^-10,
x0=Rationalize[-0.0244030796943751719036133081775862709`20.000000000000004,0],
y0=Rationalize[0.21061242715535577059159109545516178482`20.000000000000004,0]
},
FindInstance[Evaluate[D[f[x,y],x]==D[f[x,y],y]==0&&x0-eps<x<x0+eps&&y0-eps<y<y0+eps],{x,y}]]

5

6

Sum

(1/(16^n))Binomial[2n,n]Sum[((Binomial[n,k])^2)(((1-16(ϵ^2)))^k),{k,0,n}]

Sum[(Binomial[2n,n]Hypergeometric2F1[-n,-n,1,1-16ϵ^2])/16^n,{n,0,∞}]

f1[ϵ_?NumericQ]:=Sum[Binomial[2n,n]Hypergeometric2F1[-n,-n,1,1-16ϵ^2]/16^n,{n,0,100}]

With[{ϵ=0.061913},NSum[(Binomial[2n,n]Hypergeometric2F1[-n,-n,1,1-16ϵ^2])/16^n,{n,0,300}]]

Integral

v5.2

(2/π)Integrate[(1/((Sqrt[1-(t^2)])(Sqrt[3-4t+(t^2)+16(ϵ^2)]))),{t,-1,1}]

v6

(2/π)Integrate[(1/((Sqrt[1-(t^2)])(Sqrt[3-4t+(t^2)+16(ϵ^2)]))),{t,-1,1}]

u1[ϵ_]:=((2(Sqrt[2]))/(π(Sqrt[1+8(ϵ^2)+(Sqrt[1-16(ϵ^2)])])))EllipticK[(1-((1+8(ϵ^2)-(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/(1+8(ϵ^2)+(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))))]

(2/π)Integrate[(1/(Sqrt[3-4Cos[ϕ]+((Cos[ϕ])^2)+16(ϵ^2)])),{ϕ,0,π}]

u2[ϵ_]:=(4/(3π))(1/(Sqrt[2+2(Sqrt[1-16(ϵ^2)])+16(ϵ^2)]))(2EllipticK[((4(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((3-(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))(1+(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))))]+EllipticF[ArcSin[((Sqrt[2])/2)(Sqrt[((3-(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/(2-(Sqrt[1-16(ϵ^2)])))])],((4(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((3-(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))(1+(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))))]+EllipticF[ArcSin[((Sqrt[2])/2)(Sqrt[((1+(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/(2+(Sqrt[1-16(ϵ^2)])))])],((4(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((3-(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))(1+(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))))])

FullSimplify[u2[ϵ]]

f1[ϵ_?NumericQ]:=(2/π)NIntegrate[(1/(Sqrt[3-4Cos[ϕ]+((Cos[ϕ])^2)+16(ϵ^2)])),{ϕ,0,π},WorkingPrecision->10]

f2[ϵ_?NumericQ]:=(2/π)NIntegrate[(1/((Sqrt[1-(t^2)])(Sqrt[3-4t+(t^2)+16(ϵ^2)]))),{t,-1,1},WorkingPrecision->10]

f1[SIAMAnswer[6]]

f2[SIAMAnswer[6]]

FindRoot[u1[ϵ]==2,{ϵ,.1},WorkingPrecision->20]

Reduce[((2(Sqrt[2]))/(π(Sqrt[1+8(ϵ^2)+(Sqrt[1-16(ϵ^2)])])))EllipticK[(1-((1+8(ϵ^2)-(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/(1+8(ϵ^2)+(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))))]==2&&0<ϵ<1,ϵ,Reals]

FindRoot[u2[ϵ]==2,{ϵ,.1},WorkingPrecision->20]

EllipticK

Solve[(Sqrt[1-16(ϵ^2)])==x,ϵ]

Simplify[((π(Sqrt[2+16(ϵ^2)-2(Sqrt[1-16(ϵ^2)])]))/(EllipticK[((2(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((Sqrt[1-16(ϵ^2)])-1-8(ϵ^2)))]))]

Simplify[((π(Sqrt[2+16(ϵ^2)-2(Sqrt[1-16(ϵ^2)])]))/(EllipticK[((2(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((Sqrt[1-16(ϵ^2)])-1-8(ϵ^2)))]))/.ϵ->((Sqrt[1-(x^2)])/4),x>0]

Map[Factor,((π (Sqrt[3-2 x-(x^2)]))/(EllipticK[((4 x)/(-3+2 x+(x^2)))])),{2,∞}]

ϵ/.FindRoot[((π(Sqrt[2+16(ϵ^2)-2(Sqrt[1-16(ϵ^2)])]))/(EllipticK[((2(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((Sqrt[1-16(ϵ^2)])-1-8(ϵ^2)))]))==2,{ϵ,1/10},WorkingPrecision->20]

((π(Sqrt[2+16(ϵ^2)-2(Sqrt[1-16(ϵ^2)])]))/(EllipticK[((2(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((Sqrt[1-16(ϵ^2)])-1-8(ϵ^2)))]))/.ϵ->Dollar[6]

Reduce[((π(Sqrt[2+16(ϵ^2)-2(Sqrt[1-16(ϵ^2)])]))/(EllipticK[((2(Sqrt[1-16(ϵ^2)]))/((Sqrt[1-16(ϵ^2)])-1-8(ϵ^2)))]))==2&&0<ϵ<1,ϵ,Reals]

AGM

soln6=ϵ/.FindRoot[(Sqrt[2])ArithmeticGeometricMean[(Sqrt[1+8(ϵ^2)-(Sqrt[1-16(ϵ^2)])]),(Sqrt[1+8(ϵ^2)+(Sqrt[1-16(ϵ^2)])])]==1,{ϵ,1/10},WorkingPrecision->200]

soln6==Dollar[6]

Reduce[(Sqrt[2])ArithmeticGeometricMean[(Sqrt[1+8(ϵ^2)-(Sqrt[1-16(ϵ^2)])]),(Sqrt[1+8(ϵ^2)+(Sqrt[1-16(ϵ^2)])])]==1&&0<ϵ<1,ϵ,Reals]

7

SparseArray[
{
{i_,i_}->Prime[i],{i_,j_}/;IntegerQ[Log[2,Abs[i-j]]]->1
},
{20,20}]//Normal

Inverse[SparseArray[{{i_,i_}->Prime[i],({i_,j_}/;IntegerQ[Log[2,Abs[i-j]]])->1},{20,20}]][[1,1]]

N[%]

Inverse[N@SparseArray[{{i_,i_}->Prime[i],({i_,j_}/;IntegerQ[Log[2,Abs[i-j]]])->1},{200,200}]][[1,1]]

Inverse[N@SparseArray[{{i_,i_}->Prime[i],({i_,j_}/;IntegerQ[Log[2,Abs[i-j]]])->1},{1000,1000}]][[1,1]]

Inverse[N@SparseArray[{{i_,i_}->Prime[i],({i_,j_}/;IntegerQ[Log[2,Abs[i-j]]])->1},{20000,20000}]
][[1,1]]

From Wagon

n=20000;
b=Table[0,{n}];  
b[[1]]=1;
A=(SparseArray[{{i_,i_}->Prime[i]},n]+(#+Transpose[#])&)[SparseArray[Flatten[Table[{i,i+(2^j)}->1,{i,n-1},{j,0,Log[2.,n-i]}]],n]];
diagonal=Table[A[[i,i]],{i,1,n}];

Now we use LinearSolve, but it takes some work to understand the options that one needs.

NumberForm[LinearSolve[A,N[b],Method->{Krylov,Method->ConjugateGradient,Preconditioner->(((#)/diagonal)&)}][[1]],16]//Timing

Rational Answer

numerator=;
denominator=;

Numeric

Length[IntegerDigits[#]]&/@{numerator,denominator}

N[numerator,1000]/N[denominator,1000]

8

N[SIAMAnswer[8],50]

a8=-(1/(π^2))Log[q/.FindRoot[(q^(1/4))(3 -  (q^2))==((3 π)/(4(Sqrt[5]))),{q,.4},WorkingPrecision->150]]

a8-SIAMAnswer[8]

Last[Reduce[(q^(1/4))(3 -  (q^2))==((3 π)/(4(Sqrt[5])))&&0<q<1,q]]

((-1)/(π^2))Log[Root[-81 (π^4)+518400 #1-691200 ((#1)^3)+345600 ((#1)^5)-76800 ((#1)^7)+6400 ((#1)^9)&,1]]

N[%,100]

N[SIAMAnswer[8],100]

Sums giving center value

Sum[((((-1))^k)/(2k+1))Sech[(π/2)(2k+1)],{k,0,∞}]

NSum[((((-1))^k)/(2k+1))Sech[(π/2)(2k+1)],{k,0,∞}]

Pi/8//N

9

Integrate[(2+Sin[10α])(x^α)Sin[(α/(2-x))],{x,0,2}]

Make the substitution u->1/(2-x)

Solve[u==(1/(2-x)),x]

Simplify[D[((-1+2 u)/u),u]]

(2+Sin[10α])Integrate[((((2u-1))^α)/(u^(2+α))) Sin[α u],{u,1/2,∞},Assumptions->α>0]

TraditionalForm[%]

MakeBoxes[ylabel,TraditionalForm]:=RowBox[{"I","(","α",")"}]

Plot[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),{α,0,4.99},PlotStyle->Red,AxesLabel->{α,ylabel}]

FindMaximum[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),{α,8/10},WorkingPrecision->24,PrecisionGoal->12]//Timing

FindMaximum[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),{α,8/10},WorkingPrecision->200,PrecisionGoal->100]//Timing

Maximize[{4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),0<α<1},α]

Needs["NumericalCalculus`"]

ND[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),α,.2]

FunctionExpand[MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)]]

Plot[ND[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),α,x],{x,0,1}]

der=D[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),α]

der/.α->.78

Plot[der,{α,0,1}]

FullSimplify[D[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),α],0<α<1]

Reduce[And@@{4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),0<α<1},α]

Refine

soln4=With[{
eps=10^-10,
a0=0.78593367434999810666578578626876684303`200
},
Minimize[{4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),a0-eps<α<a0+eps},α,WorkingPrecision->500]
]

fn[α_?NumericQ]:=4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α])

SetAttributes[fn,NumericFunction]

V5.2.1

soln9=With[{
eps=10^-10,
a0=0.78593367434999810666578578626876684303`200
},
Minimize[{fn[α],a0-eps<α<a0+eps},α,WorkingPrecision->500]
][[1]]//Timing

V6.0

soln9=With[{
eps=10^-10,
a0=0.78593367434999810666578578626876684303`200
},
Minimize[{4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),a0-eps<α<a0+eps},α,WorkingPrecision->500]
][[1]]//Timing

V7

Options[MinValue]

soln9=With[{
eps=10^-10,
a0=Rationalize[0.78593367434999810666578578626876684303,0]
},
MinValue[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α])&&a0-eps<α<a0+eps,α,WorkingPrecision->100]
]//Timing

soln9=With[{
eps=10^-10,
a0=Rationalize[0.78593367434999810666578578626876684303,0]
},
MinValue[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α])&&a0-eps<α<a0+eps,α]]

With[{
eps=10^-10,
a0=0.78593367434999810666578578626876684303
},
FindInstance[D[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),α]==0&&a0-eps<α<a0+eps,α]
]

D[4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] (2+Sin[10 α]),α]

With[{
eps=10^-10,
a0=0.78593367434999810666578578626876684303
},
FindInstance[40 (Sqrt[π]) Cos[10 α] Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)]+4 (Sqrt[π]) Gamma[α] MeijerG[{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)] PolyGamma[0,α] (2+Sin[10 α])+4 (Sqrt[π]) Gamma[α] (2+Sin[10 α]) (-(1/8) α MeijerG[{{},{-1,((1+α)/2),((2+α)/2)}},{{0,0,0,(1/2)},{-(1/2)}},((α^2)/16)]+(1/2) Derivative[{{},{0,1}},{{0,0,0},{0}},0][MeijerG][{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)]+(1/2) Derivative[{{},{1,0}},{{0,0,0},{0}},0][MeijerG][{{},{((3+α)/2),((4+α)/2)}},{{1,1,(3/2)},{(1/2)}},((α^2)/16)])==0&&a0-eps<α<a0+eps,α]
]

10

(4/π)Sum[((((-1))^k)/(2k+1))Sech[5π(2k+1)],{k,0,∞}]

FunctionExpand[%]

N[%]

(8/π)Sum[(((-1))^k)ArcTan[Exp[-5π(2k+1)]],{k,0,∞}]

N[(2/π)ArcCos[(Sqrt[ModularLambda[(I/10)]])],200]

N[(2/π)ArcSin[(((3-2 (Sqrt[2])))^2) (((2+(Sqrt[5])))^2) ((((Sqrt[10])-3))^2) ((((5^(1/4))-(Sqrt[2])))^4)],200]

RootReduce[(((3-2 (Sqrt[2])))^2) (((2+(Sqrt[5])))^2) ((((Sqrt[10])-3))^2) ((((5^(1/4))-(Sqrt[2])))^4)]

OEIS

<<Utilities`EISFormat`

FormatSequence[RealDigits[c=soln1,10,110][[1]],
117231,0,
Name->"Solution to problem #1 in the Trefethen challenge.",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=Dollar[2],10,100][[1]],
117232,0,
Name->"Solution to problem #2 in the Trefethen challenge.",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=Dollar[3],10,40][[1]],
117233,1,
Name->"Solution to problem #3 in the Trefethen challenge.",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=soln4,10,110][[1]],
117234,1,
Name->"Solution to problem #4 in the Trefethen challenge (negated).",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=Dollar[5],10,100][[1]],
117235,1,
Name->"Solution to problem #5 in the Trefethen challenge.",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=soln6,10,110][[1]],
117236,0,
Name->"Solution to problem #6 in the Trefethen challenge (negated).",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=Dollar[7],10,100][[1]],
117237,0,
Name->"Solution to problem #7 in the Trefethen challenge.",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

N[SIAMAnswer[8],110]

FormatSequence[RealDigits[c=SIAMAnswer[8],10,110][[1]],
117238,0,
Name->"Solution to problem #8 in the Trefethen challenge.",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=Dollar[9],10,100][[1]],
117239,0,
Name->"Solution to problem #9 in the Trefethen challenge.",
Example->StringDrop[ToString[N[c,20]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]

FormatSequence[RealDigits[c=(2/π)ArcCos[(Sqrt[ModularLambda[(I/10)]])],10,110][[1]],
117240,0,
Name->"Solution to problem #10 in the Trefethen challenge.",
Formula->ToString[c,InputForm],
Example->StringDrop[ToString[AccountingForm[N[c,20]]],-1]<>"...",
html["Hundred-Dollar, Hundred-Digit Challenge Problems"],
Keyw->{"new","cons"}
]