4.1 Linear Equations: Theory

4.1 What

(Eq A) (Subscript[a, n])[x](((d^n)y)/(dx^n)) +…+(Subscript[a, 2])[x]y'' + (Subscript[a, 1])[x] y' + (Subscript[a, 0])[x]y=g[x]

(IC A) y[(Subscript[x, 0])]=(Subscript[y, 0]), y'[(Subscript[x, 0])]=(Subscript[y, 1]),…,(y^((n-1)))[(Subscript[x, 0])]=(Subscript[y, n-1])

What do solutions to homogeneous (g=0) linear equations look like.

What do solutions to inhomogeneous (g≠0) linear equations look like.

Why, Growth and Decay, Biology, Finance, Dating, Tanks, LR and RC Circuits.

Theorems

Every solution of Eq A is of the form

y[x]=(Subscript[c, 1])(Subscript[y, 1])[x]+(Subscript[c, 2])(Subscript[y, 2])[x]+…+(Subscript[c, n])(Subscript[y, n])[x] +(Subscript[y, p])[x]
where: (Subscript[y, 1]),(Subscript[y, 2]),(Subscript[y, 3]), …, (Subscript[y, n]) are n different solutions to the homogenous equation and (Subscript[y, p]) is any solution to the inhomogeneous equation.

The initial conditions determine the constants of integration (Subscript[c, 1]),(Subscript[c, 2]),(Subscript[c, 3]),(Subscript[…c, n]) when you substitute and solve the linear system

The linear system is well defined when the functions (Subscript[y, 1])(Subscript[…y, n]) are linearly independent on the interval

The linear system is well defined when the Wronskian determinant is non-zero on the interval

W=Det(({{(Subscript[y, 1]), (Subscript[y, 2]), (Subscript[y, 3]), …, (Subscript[y, n])}, {(Subscript[y, 1])', (Subscript[y, 2])', (Subscript[y, 3])', …, (Subscript[y, n])'}, {(Subscript[y, 1])'', (Subscript[y, 2])'', (Subscript[y, 3])'', …, (Subscript[y, n])''}, {⋮, ⋮, ⋮,  , ⋮}, {((Subscript[y, 1])^((n))), ((Subscript[y, 2])^((n))), ((Subscript[y, 3])^((n))), …, ((Subscript[y, n])^((n)))}}))