Higher Order expansions and Derivatives

We can get the computer to do our arithmetic for us and compute higher oerder approximations.  Here is a higher order approximation to u''[x].

Table[
Simplify[
SeriesCoefficient[
Sum[ (Subscript[c, i])u[x+i h],{i,-2,2}],
{h,0,n}]
],
{n,0,4}]

Solve[{
((Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 0])+(Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))==0,
(-2 (Subscript[c, -2])-(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+2 (Subscript[c, 2]))==0,
(1/2) (4 (Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+4 (Subscript[c, 2]))==1,
(1/6) (-8 (Subscript[c, -2])-(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+8 (Subscript[c, 2]))==0,
(1/24) (16 (Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+16 (Subscript[c, 2]))==0
},
 {(Subscript[c, -2]),(Subscript[c, -1]),(Subscript[c, 0]),(Subscript[c, 1]), (Subscript[c, 2])}]

Here is the same computation for u''''[x].

Solve[{
((Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 0])+(Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))==0,
(-2 (Subscript[c, -2])-(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+2 (Subscript[c, 2]))==0,
(1/2) (4 (Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+4 (Subscript[c, 2]))==0,
(1/6) (-8 (Subscript[c, -2])-(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+8 (Subscript[c, 2]))==0,
(1/24) (16 (Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+16 (Subscript[c, 2]))==1
},
 {(Subscript[c, -2]),(Subscript[c, -1]),(Subscript[c, 0]),(Subscript[c, 1]), (Subscript[c, 2])}]

Once more with feeling for u'''[x]

Solve[{
((Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 0])+(Subscript[c, 1])+(Subscript[c, 2]))==0,
(-2 (Subscript[c, -2])-(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+2 (Subscript[c, 2]))==0,
(1/2) (4 (Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+4 (Subscript[c, 2]))==0,
(1/6) (-8 (Subscript[c, -2])-(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+8 (Subscript[c, 2]))==1,
(1/24) (16 (Subscript[c, -2])+(Subscript[c, -1])+(Subscript[c, 1])+16 (Subscript[c, 2]))==0
},
 {(Subscript[c, -2]),(Subscript[c, -1]),(Subscript[c, 0]),(Subscript[c, 1]), (Subscript[c, 2])}]

LTE (the easy way)

The computer can compute the LTE for a discretization of a PDE.  Here is the computation for the LTE for Crank-Nicolson 
	(((Subscript[δ, +t])(Subscript[𝒰, i]^n))/(Δt)) = (1/(2((Δx)^2)))((Subscript[δ, 2x])(Subscript[𝒰, i]^(n+1))+(Subscript[δ, 2x])(Subscript[𝒰, i]^n))+(Subscript[ℱ, i]^(n+1/2))
for the heat equation (Subscript[u, t])=(Subscript[u, xx])+f. Expanding about (Subscript[x, i]) and (Subscript[t, n])+Δt/2

Clear[u,Δx,Δt,f,LTE]
LTE= (u[x,t+Δt/2]-u[x,t-Δt/2])/Δt - (u[x-Δx,t+Δt/2]-2u[x,t+Δt/2]+u[x+Δx,t+Δt/2])/(2 ((Δx)^2))-
(u[x-Δx,t-Δt/2]-2u[x,t-Δt/2]+u[x+Δx,t-Δt/2])/(2 ((Δx)^2))-f[x,t];
Simplify[
Normal[
Series[LTE,{Δx,0, 3},{Δt,0,3}]
]
]

CN HW
(((Subscript[δ, +t])(Subscript[𝒰, i]^n))/(Δt)) = (1/(2((Δx)^2)))((Subscript[δ, 2x])(Subscript[𝒰, i]^(n+1))+(Subscript[δ, 2x])(Subscript[𝒰, i]^n))+(Subscript[ℱ, i]^(n+1/2))