Wimp Asymptotics

Implementing the algorithm from J. Math Anal and App 111,pp162-176, 1985.

There is a fancier version but the simplest see Wimpl 168 version (kinda like if there are no repeated roots) is

WimpSubs = {
y[n]->e[n]k[n],
e[n]->(E^(μ0 n Log[n]+μ1 n))(n^θ),
k[n]->Exp[Sum[(Subscript[α, i+1]) (n^(β - i/ρ)),{i,1,10}]]
}

RealWimpSub={
y[n+k_]-> (n^((Subscript[μ, 0])k))(λ^k)(1+((k θ + (k^2) (Subscript[μ, 0])/2)/n)+ (γ/(n^2)))Exp[(Subscript[α, 1])β k (n^(β-1))+(Subscript[α, 2])(β-(1/ρ))k (n^(β-1/ρ))-1],
y[n]->1
}

Lets try it on our equation
	y[n+4]+A2 y[n+2]+(A1+B1 n)y[n+1] + y[n]==0

Eqn=y[n+4]+A2 y[n+2]+(A1+B1 n)y[n+1] + y[n] ;
ExpEqn=Eqn/.RealWimpSub

Now the highest potential power of n in this are (n^((Subscript[μ, 0])+1))from the B1 term (n^0) from the front and (n^(4(Subscript[μ, 0]))) from the shifted term.  So I need (as a sort of indicial equation) 
	(Subscript[μ, 0])+1=4(Subscript[μ, 0])
giving 
	(Subscript[μ, 0])=1/3

ExpEqn=Collect[ExpEqn/.(Subscript[μ, 0])->1/3,n]

CoefficientList[Eqn/.RealWimpSub,(1/n)]

{1+A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ+B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(1+(Subscript[μ, 0]))) λ+B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) θ λ+A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) (λ^2)+(E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) (λ^4)+(1/2) B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ (Subscript[μ, 0]),B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ+A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) θ λ+2 A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) θ (λ^2)+4 (E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) θ (λ^4)+(1/2) A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ (Subscript[μ, 0])+2 A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) (λ^2) (Subscript[μ, 0])+8 (E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) (λ^4) (Subscript[μ, 0]),A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ+A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) (λ^2)+(E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) (λ^4)}

{1+A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ+B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(1+(Subscript[μ, 0]))) λ+B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) θ λ+A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) (λ^2)+(E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) (λ^4)+(1/2) B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ (Subscript[μ, 0]),B1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ+A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) θ λ+2 A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) θ (λ^2)+4 (E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) θ (λ^4)+(1/2) A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ (Subscript[μ, 0])+2 A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) (λ^2) (Subscript[μ, 0])+8 (E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) (λ^4) (Subscript[μ, 0]),A1 (E^(-1+β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(Subscript[μ, 0])) λ+A2 (E^(-1+2 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+2 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(2 (Subscript[μ, 0]))) (λ^2)+(E^(-1+4 β ((((1/ζ)))^(-1+β)) (Subscript[α, 1])+4 ((((1/ζ)))^(β-(1/ρ))) (β-(1/ρ)) (Subscript[α, 2]))) γ ((((1/ζ)))^(4 (Subscript[μ, 0]))) (λ^4)}