什麼是片幅、視角、與裁切因子？

什麼是片幅、視角、與裁切因子？

冼鏡光
June 17, 2009上線
January 1, 2025搬家到此

前些日子談過什麼是焦距？ 與什麼是對焦，本篇繼續討論下一個論題： 視角與相關的概念。我們會從照明圓（circle of illumination）與好定義圓（circle of good definition，也叫做成像圓）開始，接著解釋片幅，由此引出視角的定義， 最後用相當長的篇幅討論裁切因子（crop factor）做結束。 事實上，裁切因子的林林總總才是本篇的主題，但為了要把它說清楚講明白，我們也只有從盤古開天說起，很抱歉。 如果您覺得有必要，就跳過開頭部份、直接看裁切因子那一節吧！

照明圓與好定義圓

我們從鏡頭對焦到無窮遠說起，而且也只用單（凸）透鏡做例子。 在無窮遠的被攝體通過透鏡的像出現在經過另一側的焦點、並且與鏡頭軸線垂直的平面上， 這個平面叫做焦平面（focal plane，請看 什麼是焦距的進一步說明）。 不過透鏡的直徑有限，所以無窮遠被攝體在焦平面上的像不會佔滿整個平面，而是一個以焦點為心的圓， 這個圓通常叫做照明圓（circle of illumination，簡稱做CI）； 叫它做照明圓的原因很簡單，因為在焦平面上除了這個圓之外都得不到從透鏡來的光線， 所以照明圓是焦平面上被透鏡所「照明」的區域。

但是每一個透鏡（甚至於相機鏡頭）都滿足所謂的cos4定律， 這是說透鏡成像時從中央到邊緣的亮度以與cos4這條曲線成正比的方式遞降。 下面的圖有紅色的cos(x)，綠色的cos4(x)、與藍色的直線的比較， 我們可以很明顯地看到cos4的曲線自左（影像中心）而右（影像邊緣）急速下降， 這表示透鏡產生的影像是中央部位最亮，離開中央區域亮度急速降低、愈往邊緣就愈暗，到了最外面時亮度幾乎是0。 另一方面，各種像差也會讓影像品質愈靠近邊緣就愈低。 所以，一個透鏡產生的像只有中央區域是堪用的，這個堪用、也就是影像品質良好的區域， 叫做好定義圓（circle of good definition，簡稱為CGD或CD）， 也說成是成像圓或成像圈（image circle）。

上面提到的是對焦到無窮遠的情況，對焦到近距離又如何？ 請看下圖，圖中有一個透鏡，紅點是它的一個焦點（焦距為f），兩條直線標出好定義圓（或成像圈）的邊界； 換句話說，好定義圓的圓周與透鏡的中心決定了一個正圓錐，圖中的兩條直線正是圓錐的邊線。 因為透鏡是對焦在無限遠，所以像在焦平面上，它是一個圓心在焦點半徑為r的圓。

再看下面對焦在近距離的示意圖。 圖中在透鏡左邊是物距為u的被攝體（藍色）、它是個頂到好定義圓邊線的圓， 它的像在像距為v的平面上（請注意，u與v都大於f）。 圖中藍色的虛線標出被攝體的成像方式，於是像（也是個圓）自然也會頂到好定義圓的邊線，我們用R表示這個圓的半徑。 從圖中相似三角形的關係可以得到f/r = v/R， 於是R = (v/f)r。 因為像距v大於焦距f，所以v/f大於1，因此R大於r， 這表示對焦在近距離時的好定義圓比對焦到無窮遠時的來得大， 而且物距u愈短（像距v愈長）時對應的好定義圓愈大。

事實上，因為v ≥ f，當v = f（對焦在無窮遠）時R = r， 這表示對焦在無窮遠時好定義圓最小；只要不是對焦在無窮遠，對應的好定義圓都比較大。 大多少呢？目前大多數鏡頭的最高放大率是1：1，在這個情況下我們有u = v = 2f， 所以在放大率為1：1時有R = 2r，也就是好定義圓半徑是對焦在無窮遠時的兩倍（面積是四倍）。

好定義圓還有一個不用大型相機的玩家容易忽視的特性：光圈愈小好定義圓愈大。 我們不妨這樣想，光圈大時影像邊緣的像差比較嚴重，所以好定義圓較小； 收小光圈後把透鏡邊緣像差嚴重的部份擋住了、從而提高了邊緣的影像品質，於是可用的區域變大，當然好定義圓也變大。 這一點正是大型相機鏡頭（特別是老鏡頭）規格表中成像圓（或視角）隨收小光圈而變大的主要理由。

片幅

上一節的討論完全沒有提到底片或感光晶片，道理是沒有必要，因為照明圓與好定義圓是透鏡的特性。 當然，如果考慮到底片或感光晶片（以下為了方便起見我都用底片），它的尺寸得小於好定義圓， 要不然就會拍到好定義圓之外的不良畫面。 這點在設計大型相機鏡頭與移軸鏡頭時特別重要，因為得保証鏡頭移開軸線後好定義圓仍然可以完全涵蓋底片、而且不會影響影像品質。 所以，若對焦到無窮時時好定義圓的半徑是r，底片記錄影像部份的對角線得要小於2r。 下面是個示意圖，外圍是圓心在紅點而且半徑為r的好定義圓，黃色部份是長寬分別為a與b的底片， 它的對角線長是2d = (a2+b2)1/2，中心在好定圓的圓心。 於是，d ≤ r成立才能確保底片在好定義圓內。 請注意，底片的片幅通常寫成a × b或b × a， 對角線長2d得自己算出來。

下表是常見DSLR感光晶片規格的長、寬、與對角線，單位是mm（毫米）。 這些感光晶片都是所謂的APS-C機型，它們的片幅都比實際的APS-C底片（倒數第二列）小一些，而且不同廠家也有稍許差異， 其中Nikon的片幅最大、Canon的最小。 另外，同一廠家不同機型的APS-C片幅也有少許差異，譬如Pentax K-7是23.4 × 15.6 而K2000則是23.5 × 15.7。 所謂的135片幅（最後一列）就是135厎片的片幅，各家差異非常小、小到可以忽略，所以看成36 × 24就行了。

視角

有了鏡頭焦距與片幅就可以講視角了。 首先得提醒一點，視角是基於對焦在無窮遠以及片幅的對角線定義的。 因為對焦在無窮遠，被攝體的像在焦平面上，於是透鏡到焦平面的距離正好是焦距f，下面是個示意圖， 圖中d是片幅對角線長的一半。 因為被攝體上每一點的成像光線中會有一條經過透鏡中心，所以圖中只畫出經過透鏡中心的光線， 於是對角線兩個端點與透鏡中心連線的夾角就是視角 （field of view、簡稱FOV；其實這說成是視野更貼切）。 下圖中θ表示視角的一半，從圖中可以看出tan(θ) = d/f， 於是從片幅與焦距算出的視角就是2θ = 2×tan-1(d/f)。

下表是用2θ =2× tan-1(d/f)算出來的焦距與視角的關係， 表中第一列是單位為mm（毫米）的焦距，第二列是用135片幅算出來的對應視角， 第三列是以Nikon APS-C規格的DSLR片幅算出來的視角。

當鏡頭對焦到近距離時，鏡頭會向前移；換句話說，像距v會大於焦距f。 下面示意圖中虛線代表原本對焦在無窮遠的狀態，2θ表示在此時的視角； 實線部份則是對焦到近距離，它的視角為2φ。 因為tan(θ) = d/f、tan(φ) = d/v、而且v > f， 我們得到tan(φ) < tan(θ)，所以φ < θ，於是2φ < 2θ。 換言之，對焦在近距離時的視角（或視野）比對焦在無窮遠時來得小，而且愈近（v愈大）則愈小。 請注意，這個推論是以對焦時整個鏡頭組前後移動的前提得來，如果鏡頭在對焦時只移動前段部份甚至使用內對焦 （請參看什麼是對焦），於是連焦距都會變動，因而視角與焦距的關係會更複雜，所以就不在此地討論了。

比較焦距的視角

上一節提過兩個重點：視角是對焦在無窮遠時定義出來的，對焦在近距離時視角會變小、程度會隨對焦機制而異。 這兩點告訴我們，在比較焦距的視角時要用無窮遠的被攝體為準，而且每一個鏡頭在製造與裝配過程中都會有某種程度的誤差， 所以同一廠牌同一型號的鏡頭在實測焦距時都不見得會完全相同（譬如，50mm可能是52mm也可能是49mm）。 我們用兩個例子做說明，下面的照片是第一景，用200mm與135片幅的DSLR機身拍攝幾乎在無窮遠的景物：

我用若干個有200mm能力的鏡頭對上面的景各拍攝若干張照片，再把對應部份裁切、拼成一張容易比較的照片（見下面照片）， 不過因為得更換鏡頭、而且有時連機身都得從腳架上取下，要永遠精確地對準同一個位置拍攝有其潛在的困難， 所以下面的裁切並不保証張張都會在同一個位置對焦（但儘可能降低差異）。 使用的鏡頭如下：AF-S 200mm f/2G VR、MF 200mm f/4、AF-S 70-200mm f/2.8G、AF-D 80-200mm f/2.8、 AF-D 28-200 f/3.5-5.6與AF 28-200mm f/3.5-5.6G六個（MF鏡頭都用AI-S版，下同此）。 從這幾張照片看來，六個鏡頭的視角都差不多，不過AF-D 28-200mm f/3.5-5.6的比其它都大一些， AF 28-200mm f/3.5-5.6G與AF-S 200mm f/2G VR相差有限， 但兩者比AF-D 28-200mm稍許小一點、又都比其它鏡頭來得大，剩下來的三者都差不多。 所以當對焦在無窮時，所有鏡頭的視角都相差不大，差異與鏡頭價位並沒有多大關係、而是來自不同的設計。

接下來是短距離的比較。 這個景是林子邊上的花叢、距拍攝位置2公尺左右（比AF-D 28-200mm最短對焦距離長一點）：

我用七個鏡頭拍攝，焦距都定到200mm，這七個鏡頭是AF-D Micro Nikkor 200mm f/4、MF 200mm f/4、 AF-S 70-200mm f/2.8G VR、AF-D 80-200mm f/2.8、MF 80-200mm f/4、AF-D 28-200mm f/3.5-5.6、 與AF 28-200mm f/3.5-5.6G。 比較這七張照片，相信會發現AF-D 28-200mm f/3.5-5.6與AF 28-200mm f/3.5-5.6G的視角比其它五個鏡頭的大很多。 剩下的五個鏡頭中，兩個手動鏡頭（MF 200mm f/4與MF 80-200mm f/4）的視角比較窄， 而且MF 200mm f/4的最窄，這兩個鏡頭都沒有內對焦功能。 其它三個自動對焦鏡頭的視角都差不多，都有內對焦功能，但AF-D Micro Nikkor 200mm f/4在對焦時前段也會移動。

這個例子告訴我們，用相同焦距的鏡頭拍攝近距離物體比較視角時會問題多多，至少視角是以無窮遠為準， 對焦到近距離時依鏡頭的設計與對焦方式可能會產生相當的差異。

裁切因子

我們常會想到把同一個鏡頭裝到不同系統的相機上使用，就假設真的裝成了，接下來很自然會問： 同一個鏡頭在兩個系統下的拍攝效果如何？ 換句話說，把一個200mm的鏡頭裝到一個APS-C規格的DSLR（譬如Nikon D5000）上時， 透過它的觀景窗當然不會看到同一個鏡頭在135片幅的Nikon D3上的景，所以我們的問題是： Nikon D5000加上200mm鏡頭看到的相當於在Nikon D3上的什麼鏡頭呢？ 再看一個例子。 假設把一個150mm的鏡頭裝到Hasselblad（片幅為6cm × 6cm）上與裝到Nikon D3上， 從Nikon D3的觀景窗中看到的不會與從Hasselblad觀景窗看到的相同， 那麼在Nikon D3上看到的相當於在Hasselblad上用了什麽鏡頭呢？

這個差異來自同一個鏡頭支援不同片幅時所產生的不同視角； 縱使是焦距相同的鏡頭，裝到不同片幅的相機上就會有不同的視角。 首先，我們得認清一個非常重要的事實： 一般而言，只能把大片幅的鏡頭裝到片幅較小的相機上使用， 但有些Leica Visoflex鏡頭的好定義圓大到可以在6cm ×6cm的Hasselblad機型上使用。 如果大片幅（下圖中的B）的好定義圓（A）比小片幅（D）的好定義圓（C）大， 把大片幅鏡頭裝到小片幅相機上時，小片幅的底片（D）會完全在大片幅的好定義圓（A）、甚至於在大片幅底片範圍（B）內； 換言之，小片幅只拍到大片幅記錄的影像的一部份。 我們在老鏡叢談系列中介紹過把 Dallmeyer Rapid Landscape與 Dyotar 180mm f/4.7大片幅鏡頭裝在Nikon APS-C規格的DSLR上拍攝就是好例子。

因為鏡頭的焦距在生產時就固定了，不論把它裝在何種片幅的機身上都不會改變，但是不同片幅的對角線長就不同， 所以同一個鏡頭裝在不同片幅的機身上會造成視角改變。 就以下圖為例，焦距為f的鏡頭原來支援對角線長為2D的片幅（圖中紅色部份）， 在這個片幅下它的視角為2θ = 2×tan-1(D/f)； 如果把這個鏡頭裝在對角線長為2d的較小片幅相機上（圖中黃色部份）， 它的視角是2φ = 2×tan-1(d/f)。 因為d < D，所以θ < φ，於是小片幅的相機只會「看」到大片幅的一部份； 基本上，這就是在APS-C的DSLR機身上用135片幅鏡頭時被說成是裁切（crop）的理由， 因為APS-C片幅只能捕捉135片幅影像的中央部份。

然而，一來是用戶不習慣使用視角（特別是容易忘記視角是對焦在無窮遠時的結果）， 二來是鏡頭的視角又與使用片幅有關（但大多數用戶不一定熟悉手上機型的片幅、何況手冊上也未必有這一項資訊）， 所以用視角的說明就不很容易了解，不過我們卻不難改用焦距來討論。

請看下圖。假設焦距為f的鏡頭裝到對角線長為2d（較小片幅）的機身上得到視角2θ， 而且又有個對角線長為2D的較大片幅。 因為D > d，如果把鏡頭向前推到某個位置（圖中虛線部份）、 使鏡頭中心與大片幅對角線兩個頂點連線的夾角也是2θ，於是大小片幅的視角相同、當然就會看到相同的景。 在這個情況下，基於視角的定義，虛線（亦即大片幅）鏡頭新位置的中心到影像平面的距離F就應該是它的焦距。 因為tan(θ) = D/F = d/f， 我們得到F = (D/d) ×f。 換句話說，小片幅相機用焦距為f鏡頭的視角與大片幅相機用焦距為 F = (D/d) ×f鏡頭的視角相同； 反過來，這道式子也可以寫成f = (d/D) ×F， 這表示大片幅相機用焦距為F鏡頭的視角與小片幅相機用焦距為 f = (d/D) ×F鏡頭的視角相同。

因為滿足F = (D/d) ×f這道式子中焦距為F的鏡頭與焦距為f的鏡頭 分別在對角線長為2D與2d的片幅下有相同的視角， 所以F與f兩者互為等效焦距（此地等效表示視角相同）， D/d叫做從f轉換成它的等效焦距F的裁切因子 （crop factor）、而d/D則是從F轉換成它的等效焦距f的裁切因子。 不過，習慣上只有D > d時D/d才會稱為裁切因子，但本文不做此區分。

我們看個例子。前面提過Nikon的APS-C規格DSLR對角線長是28.4mm（d = 28.4/2 = 14.2）， 135底片對角線長是43.3mm（D = 43.3/2 = 21.65）， 所以把APS-C片幅焦距轉換成135片幅等效焦距時要乘上裁切因子D/d = 21.65/14.2 = 1.52。 換句話說，把一個焦距為f的鏡頭裝到Nikon APS-C的DSLR上時， 它的視角相當於在135片幅下焦距為1.52×f的鏡頭； 反過來，如果已知一個135片幅焦距為F的鏡頭，它在APS-C的DSLR上的等效焦距是F/1.52。 不過習慣上裁切因子都四捨五入到小數點後一位而成為1.5，所以一個APS-C用的18-200mm鏡頭的視角相當於135片幅中的 27-300mm（27 = 18×1.5，300 = 200×1.5）， 而135片幅的28-200mm鏡頭則相當於APS-C機身上的18.7-133mm（18.7 = 28/1.5，133 = 200/1.5）。 同理，因為Canon的APS-C機型對角線長是26.8mm，它對135片幅的裁切因子是1.6 = 43.3/26.8， 於是18-200mm在Canon APS-C機型上的視角與135片幅的28.8-320mm相同 （28.8 = 8×1.6，320 = 200×1.6）。 反過來看，要達到與135片幅70-210mm的相同視角，在APS-C規格就是46.7-140mm（46.7 = 70/1.5，140 = 210/1.5）， 但在Canon APS-C機身上則是43.8-131.3mm（43.8 = 70/1.6，131.3 = 210/1.6）。

歸結起來， 如果有對角線長為2D與2d片幅的機型， 假設D > d，於是在2d機型上焦距為f的視角與2D機型上焦距為 F = (D/d) ×f的視角相同， 反之在2D機型上焦距為F的視角與2d機型上焦距為 f = (d/D) ×F的視角相同。

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